Matematika yra žavi. Vartiklis

Paaiškinti, ką padarė žymiausi matematikai, nėra taip paprasta kaip sudėti 2+2. Nobelio premija neskiriama matematikams - ir tuo, atseit, kaltas meilės romanas. Nobelio žmona turėjo meilužį, švedų matematiką Gosta Magnus Mittag-Leffler'is¹⁾, ir Nobelis pabijojo, kad jam gali atitekti prizas, - ir visiems laikams matematikus paliko "už borto". Tai nėra tiesa, nes Alfredas Nobelis niekada nebuvo vedęs ir buvo vienišius.

Matematika daugelį baugina, nes parodo jų matematinį neišprusimą. Ir taip pat kažkur giliai suvokia, kad, iš esmės, matematika valdo pasaulį. Kaip bebūtų, žiniasklaida beveik nepaminėjo 2002 m. rugpjūčio 20 d. aukščiausio matematinio apdovanojimo, Fieldso medalio įteikimo. Šiemet jį gavo Laurent Lafforgue²⁾ iš Prancūzijos (už pasiekimus „funkcijų laukuose") ir Vladimiras Voevodskis³⁾ iš Prinstono (už Milnoro hipotezės įrodymą). „Nevanlinna“ prizas už pasiekimus kompiuterių moksle atiteko Madhu Sudan'as⁴⁾ iš Masačusetso MII (už duomenų autokorekcijos sprendimus).

L. Lafforgue išsireiškė: „Kai nematematikai manęs klausia, ką veikiu, nebandau jiems paaiškinti, nes manau, kad tai beveik neįmanoma. Kaip ir matematikams, dirbantiems kitose srityse“. Tuo tarpu Sudan'as sugebėjo savo darbo esmę paaiškinti 3 m. dukrai.

Matematikai kažkuo skiriasi. Dažnas gali žavėtis Ticiano paveikslais, Šopeno sonata ir pan. Bet, tikėtina, ne dažną sudomins topologiniai izomorfizmai. Ir tai gėda!

Tame matematikos grožis, kurį pajusti turėjote, supratę, koks nepaprastas yra nulis - jį galite pridėti prie bet kurio skaičiaus (bet kurio!), ir skaičius liks nepakitęs. O gal jus sukrėtė ir kvadratinės šaknies iš -1 mistika? Yra žmonių, tą ženklą išraižiusių antkapyje. „Matematikoje tiesa yra žavi“ (L. Lafforgue). "Archimedo galvoje buvo daugiau vaizdinių nei Homero" (Volteras).

Nenuostabu, kad mes nustumti nuo matematikos kerų žiniasklaidos stereotipų, pilkų mokytojų, baigiamųjų egzaminų „fabriko“. Tuo tarpu matematikai yra tokie pat žmonės, kaip visi - net jei turi keistų įpročių (žr. >>>>). Paul Erdos'as⁵⁾ vaikus vadino „epsilon“, - ir matematiniuose sluoksniuose tai kelia šypsena („epsilon“ sąvoka išreiškia kažką nenumaldomai artėjantį į nulį).

Kartais matematikai darė klaidas. Tas pats L. Lafforgue 2000-aisiais buvo apdovanotas Clay premija. Jau po 5 d. jis savo įrodymuose rado klaidą. Jis pasisiūlė gražinti prizą. Arthur Willes, Clay instituto direktorius jį užtikrino, kad prizas jam bus dar vertingesnis, kai ras klaidą. L. Lafforgue dirbo dieną ir naktį - klaidą pašalino tik po kelių mėnesių.

Bet kuo L. Lafforgue ir kitų darbai svarbūs kitiems? Nes matematika mums naudinga. Bet ne skaičiuokle, kurią įkeliame į mėnesinę ataskaitą. Mokslininkai ir inžinieriai ja remdamiesi stato pasaulio struktūrą, nuo Niutono klasikinės mechanikos iki kvantinės mechanikos ir personalinio kompiuterio lustų. Matematika "dirba" - ir būtent todėl vadinama mokslų karaliene.

Matematika yra žavi

Daugelis prisimena tas „baisias“ matematikos pamokas mokykloje. Tai kaip matematikai gali tvirtinti, kad matematika yra žavi?! Tačiau toks požiūris stimuliuoja juos... Trikampiai skaičiai

Kai kurie matematikos elementai tikrai yra žavūs – kaip pavyzdį paimkime fraktalus. Bet kaip apie mažiau aiškius atvejus? Paimkime skaičių seką 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, … Jie vadinami trikampiais skaičiais. Kiekvienas skaičius atitinka trikampius sudarančių taškų kiekį.

Ar galime nuspėti, koks tūkstantasis skaičius bus šioje sekoje?
Paimkime 10-ą skaičių ir pabandykime nustatyti taškų kiekį jų neskaičiuodami. Paimkime tą patį “trikampį” ir uždėkime taip, kad sudarytų stačiakampį:
Trikampiai skaičiai

Matome, kad jis turi 11 eilučių ir 10 stulpelių – tad viso jame yra 110 taškų. Iš čia 10-as skaičius turi 55 taškus.
Pamatę šį dėsningumą galime paskaičiuoti 1000-jo skaičiaus taškų kiekį:
(1000 x 1001)/2 = 500500
Argi sprendimas (nukopijuoti ir sudėti į stačiakampį) neatrodo gražiai?

Bet yra ir kitų būdų tam skaičiui nustatyti. Vienas jų – pažiūrėti į pirmuosius sekos narius ir tada panaudoti indukcijos metodą. Tačiau jis neatskleidžia, kas slepiasi už formulės.

Yra dar vienas patrauklus pavyzdys. Panagrinėkime sumą:

Tai garsioji harmoninė eilutė. Ji neduoda baigtinio skaičiaus, matematiškai sakant, diverguoja. Kaip galime tai įrodyti? Atrodytų, kad tai nepaprastai sunku, tačiau yra nuostabi idėja. Sugrupuokime eilutės narius taip:
Harmoninė eilutė (grupuota)

Kiekvienos grupės suma yra didesnė už 1/2. Tad, sumuojant tokias grupes, suma auga ir auga – iki pat begalybės. Tai tikrai nėra sudėtinga – taigi, argi tai nėra gražu?

Tai tikrai nėra patys sudėtingiausi dalykai matematikoje. Neretai joje panaudojama sudėtinga terminija ir žymenys. Ir matematinis dalykas tol neatrodys puikiu, kol jo neimsi suprasti. Bet matematika nėra išskirtinė tuo atžvilgiu – taip yra ir mene, muzikoje, architektūroje ir kt. – visur ne iškart pajusi žavesį tol, kol neįsigilinsi.

Objektyviai kalbant, matematikoje mažai seksualumo. Jos gluminančios sinusoidės ir jų formulės, kurios daugumai atrodo tarsi šumerų dantiraštis, daugybę asmenų nuvijo į tokias tuščias sritis kaip žurnalistika ar vadyba. Netgi žinomas komikas Louis C.K.⁵⁾ „patvitariavo“: „Mano vaikai mėgo matematiką. Dabar ji priverčia juos raudoti“.

Tačiau J. Ellenberg’as išleido labai gerai virškinamą knygą „Kaip nesuklysti: Matematinio mąstymo galia“. Jis pradeda užduodamas labai paprast klausimą: „Kodėl žaidžiate loterijose?“, - ir tada pereina per Dievo egzistavimo, Pentagono dokumentų, traukinių bėgių, V. Čerčilio ir dirbtinių Žemės palydovų klaidų aptarimus prieš grįždamas prie profaniškai atrodančio klausimo ar „Powerball“ loterija yra verta dėmesio. Kontekstas, o ne skaičiavimo metodai, yra jo katekizmas.

Matematika neapsaugos nuo visų klaidų. Tai knygoje šmaikščiai iliustruojama primenant, kad Francis Galton‘as⁷⁾, daugelio statistinių teorijų pradininkas, kartu įkvėpė nacius eugenikai.

¹⁾ Magnus Gustaf (Gosta) Mittag-Leffler (1846-1927) - švedų matematikas. Jo didžiausias indėlis yra analitinių funkcijų teorijoje. 1882 m. įsteigė vieną stambiausių matematinių žurnalų „Acta mathematica“. 1911 m. pasitraukęs iš Stokholmo universitetinio koledžo prezidento pareigų, tapo sėkmingai besiverčiančiu verslininku, tačiau jo turtus šuniui ant uodegos nusinešė 1922 m. ekonominė krizė.

²⁾ Laurent Lafforgue (g. 1966 m.) – prancūzų matematikas, prisidėjęs Langlands'o programoje vystant skaičių teoriją ir matematinę analizę. Jis įrodė Langlands’o teiginius automorfinei grupei funkcijų lauke. 2002 m. ICM Pekine buvo apdovanotas Fieldso medaliu.

³⁾ Vladimiras Voevodskis (g. 1966 m.) – rusų kilmės JAV matematikas. Jo darbų sritis yra algebrinės geometrijso ir algebrinės topologijos sankirtoje. Jis išvystė homotopijų ir algebrinių daugdarų kohomologijų teorijas. Naujas priemones panaudojo įrodant Milnoro teiginį. Užsiima ir matematikos pagrindais. 2002 m. ICM Pekine buvo apdovanotas Fieldso medaliu.

⁴⁾ Madhu Sudan (g. 1966 m.) – indų kilmės JAV informatikas (MIT). 2002 m. ICM Pekine buvo apdovanotas Nevalino premija už indėlį tikimybinių įrodymų srityje bei klaidų korekcijos kodų sukūrimą.

⁵⁾ Paul Erdos (1913-1996) – ekscentriškasis vengrų matematikas. Jis užsiiminėjo kombinatorika, grafų ir skaičių teorijomis, klasikine analize, aproksimacijų teorija, aibėmis ir tikimybių teorija. Buvo vienas produktyviausių 20 a. matematikų (per 600 darbų). Gyveno „klajoklio“ gyvenimą, buvo užkietėjęs amfetamanistas, narkotikų nemetęs visą gyvenimą. Mirė konferencijos Lenkijoje metu – kišenėje buvo bilietas į Vilnių, kur turėjo dalyvauti kitoje konferencijoje.

⁶⁾ Louis Szekely (g. 1967) - Louis C.K. pseudonimu žinomas meksiko-amerikiečių komikas, dramaturgas, aktorius ir kino režisierius. Apdovanotas „Emmi“ ir „Grammi“ premijomis.

⁷⁾ Seras Frencis Galtonas (Francis Galton, 1822-1911) - Čarlzo Darvino pusbrolis, buvo Viktorijos laikų anglų mokslininkas universalas: antropologas, eugenikas, tropikas, tyrinėtojas, geografas, išradėjas, meteorologas, proto-genetikas, psichometrikas ir statistikas, diferencialinės psichologijos pradininkas. Įšventintas į riterius 1909 m.

Dabar eugenikai priskiriamas idėjas susistemino remdamasis evoliucijos teorija, taip pat įvedė ir terminą „eugenika“. Po mirties nemažą dalį savo turto Galtonas paliko Londono universiteto Eugenikos katedrai.