Pitagoro skaičiai per Fibonačio seką   

Kitos sąsajos tarp matematikos sričių pavyzdys yra Kirmgrauža tarp matematikos sričių    

Tikriausiai visiems iki grabo lentos nerūdijančiais vinimis įkalta Pitagoro teorema, skelbianti, kad
Stačiojo trikampio įstrižainės kvadratas lygus jos statinių kvadratų sumai
Arba užrašant algebriškai: a2+b2=c2 Trikampis: Pitagoro skaičius

Trejetas (a, b, c) yra vadinamas Pitagoro skaičiumi.

Dar daugelis girdėjo apie Fibonačio skaičius arba Aukso pjūvį, kurie susiję…. Finonačio skaičių seka gaunama sudedant ankstesnius su skaičius, t.y. Fn+1=Fn+F,SUB>n-1
Pradedant F0=0 ir F1=1, gauname tokią seką: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

Fibonačio skaičiai dažnai sutinkami mene, architektūroje ir gamtoje: pvz., triušių veisimasis, ananasų raštai ir t.t

Tačiau, ar galima ne tik matematikams, bet ir humanitarams sukelti susižavėjimą ir nustebimą sąryšiais matematikoje? Juk kaip sako Lynn Arthur Steen‘as*): „Menų ir humanitarinių mokslų studentams matematika yra neįžvelgiama kultūra – bauginanti, vengiama ir todėl nesuprantama“.
[ Lynn Arthur Steen. Restoring Scholarship to Collegiate Mathematics// Focus 6 (1986): 1-7 ]

Nes galbūt ir galima, nes juk pasirodo, kad gerai visiems žinomi Pitagoro skaičiai ir Fibonačio skaičiai glaudžiai susiję!

Teiginys. Jei paimsime:
a=2FnFn=1;
b=Fn2-Fn=12;
c=F2n+1

tada, kai n >= 2, turim a2+b2=c2, o tai reiškia, kad (a, b, c) yra Pitagoro skaičius!

Patikrinkime paėmę n=5:
F5=5;
F6=8;
F11=89.
Tada a = 2*5*8=80,   b=52-82=25-64=39,   c=89.
c2=7921
a2+b2=802+(-39)2=6400+1521=7921

Įrodymas

A. Pirmiausia mums reikia įrodyti pora formulių (*):
F2n= Fn(Fn+1+ Fn-1)
F2n+1= Fn+12+ Fn2

Iš tikro, mums tereiks antrosios, tačiau jos susijusios, - ir lengvai įrodomos indukcijos metodu, pradedant n=1. Tai galite atlikti patys.
Pastaba. Jei jums nepavyko patiems įrodyti pagalbinių (*) formulių, paspauskite rodyti įrodymą...

Įrodysime indukcijos metodu. Patikriname, kai n=1:
Pitagoro skaičius

Dabar tarkime, kad formulės teisingos kažkuriam žinomam k > 0:
F2k= Fk(Fk+1+ Fk-1)
F2k+1= Fk+12+ Fk2

Tada dėl k+1 turim
Pitagoro skaičius

ir
Pitagoro skaičius

Formulės įrodytos!


*) Lynas Stynas (Lynn Arthur Steen, 1941-2015) – amerikiečių matematikas, parašęs daugybę knygų ir straipsnių apie matematikos mokymą; dauguma jų skirta ne profesionalams. Jis nagrinėjo matematikos ryšius su kitomis mokslo sritimis. Buvo paskutiniu MAA prezidentu.

Taip pat skaitykite:
Pitagoro teorema
Begalybė (pristatymas)
Dirbtinis intelektas kare
Parabolės lenktas likimas
Vištų matematiniai pokalbiai
Pi keliai ir klystkeliai
Kirmgrauža  tarp matematikos sričių
Mokslininkui  nereikia  matematikos!
Kodėl matematikoje nežinomąjį žymi „x“?
Endre Szemeredi darbų esmė „ant pirštų“
Kas vyko ar įvyko? SKIE-MUO: Priešistorė
E. Galua: matematikos genijus, revoliucionierius
Klasikinės „neišsprendžiamos“ geometrinės konstrukcijos
Matematika Van Gogo „Žvaigždėtoje naktyje“
Žodžių anagramos, skaičiai, paprikos ir kt.
A. Whitehead. Skaičiavimų prigimtis
Pagrindinės statistinės sąvokos
Revoliucija mazgų teorijoje
Tūkstantmečio problemos
Aritmetikos pagrindai
Romėniški skaitmenys
Kvadratinė lygtis
Matematikos keliu
Fraktalai