Kai kurie pasiekimai 2020 m. matematikoje: išmazgymas  

Taip pat skaitykite 2019-2018 metai matematikoje  

2020 m. matematikams buvo kūrybingi. Kai kuriose „įsisenėjusiose“ problemos proveržiai kartais pateikė atsakymus ir į kitus klausimus.

Maždaug prieš 30 m. įrodyta Ferma teorema tebuvo ilgo kelio pradžia. Ji buvo tarsi tiltas tarp skirtingų matematinių sričių: algebrinių lygčių ir tam tikrų simetrinių geometrinių padengimų (užklojimų). Du straipsniai žymiai išplėtė lygčių ir geometrinio padengimų kiekį vadinamajame Langlandso atitikime.

O V. Dimitrovas panaudojo kitą sąryšį, polinomų su laipsnių sekomis, kad įvertintų, kaip tam tikri polinomų sprendiniai geometriškai vienas kitą stumia. Taip payt atvaizdavimų teorijoje parodyti grupių sąryšiai su paprastesne matricų koncepcija.

Kartais problemas išspręsti seni instrumentai. Taip Liza Piccirillo, nupūtusi dulkės nuo senai žinomo, tačiau mažai naudojamo metodo, atsakė dešimtmečius kybantį klausimą apie mazgus. Tam tikras mazgas buvo pavadintas Džono Konvėjaus vardu ir jis vis išsisukdavo iš klasifikacijos pagal aukštesnių matavimų nurėžtumo savybę. Liza įrodė, kad tas mazgas nėra „nurėžtas“. Deja, Dž. Konvėjus mirė nuo Covid-19 2020 m. balandį, o jo žmona patvirtino, kad jis nesužinojo apie Lizos pasiekimą.

Trilapis mazgas Mūsų pasaulis yra keturmatis, jei papildomu matu prijungsime laiką, tad natūralu klausti apie mazgų teoriją 4-matėje erdvėje. Tačiau tai nereiškia, kad bet kurį mazgą iš 3D galite tiesiog perkelti į 4D – joje sumazgytas ciklas gali būti atraizgytas, jei gijos eina viena virš kitos ketvirtame matavime. 4D mazgui reikia imti dvimatę sferą, o ne vienmatį ciklą – ir sumazgytas sferas matematikai pirmąkart sukonstravo 20 a. 3-me dešimtm. Jas sunku vizualizuoti, tačiau tai padeda, jei pirmiausia pagalvosime apie įprastą sferą trimatėje erdvėje. Jei ją perrėšite, gausite neatrišamą ciklą. Ir perpjovę sumazgytą sferą 4-ėje erdvėje taip pat galite pamatyti ciklą (ar atmazgytą ciklą arba kelis ciklus, priklausomai, kur pjovėme. Bet kuris mazgas, kurį gauname perpjovę sumazgytą sferą, vadinamas „nuopjova“. Tačiau kai kurie mazgai nėra nuopjovos - pvz., triskart susikertantis (trilapis) mazgas nėra nuopjova2).

Bet 4D yra dvi skirtingos versijos to, ką galime vadinti nuopjova. 8-o dešimtm. pradžioje matematikai (iš jų M. Fridmanas ir S. Donaldsonas už tai 1986 m. gavo Fieldso medalius) atrado, kad 4D turi ne tik glotnias sferas, bet ir taip visiškai sumaitotas, kad negalima „išlyginti“ (išglotninti). Tad klausimas apie mazgus kaip nuopjovas priklauso nuo to, ar įtrauksime tas sumaitotas (egzotiškas) sferas (dar skaitykite apie egzotiškąsias hipersferas).

Ir čia mazgai, kurie yra „topologinės nuopjovos“ (o ne „glotnios“ nuopjovos) leidžia sukonstruoti egzotiškas 4D versijas, topologiniu požiūriu atrodančias kaip įprastos 4D erdvės, tačiau esančios neišlyginamai sumaigytomis. Tokių egzotinių erdvių egzistavimas keturmatę erdvę išskiria iš visų kitų matavimų. Ir tada klausimas apie „nurėžtumą“ yra patikrinimas dėl tų egzotinių 4D erdvių.

Su metais matematikai aptiko daugybę topologinių mazgų (t.y. neglotnių) mazgų. Bet atrodė, kad jų nėra tarp turinčių 12 ar mažiau susikirtimų, ... išskyrus Konvėjaus mazgą. Pats Konvėjus mazgais susidomėjo 6-me dešimtm. dar būdamas paaugliu ir išvardijo visus iki 11-os susikirtimų. Tame sąraše vienas mazgas išsiskyrė iš kitų – ir kad tas mazgas yra topologinis matematikai Konvėjaus mazgas išsiaiškino per „revoliucinį“ 9-ą dešimtmetį. Tačiau pasirodė, kad jis turi savybę, atsparią bet kokiam bandymui parodyti, kad jis nėra glotni nuopjova.

Mat Konvėjaus mazgas turėjo tarsi porininką, vadinamąjį mutantą. Jei nupiešime Konvėjaus mazgą ant popieriaus, nukirpsime tam tikrą jo dalį, apsuksime ją ir vėl sujungsime palaidus galus, gausime kitą, Kinošita-Terasaka mazgą. Problemą kėlė tai, kad šis Kinošita-Terasaka mazgas buvo glotni nuopjova. Ir tas artumas apgaudavo priemones, kurią matematikai tam naudojo (vadinamuosius invariantus ar M. Hughes sukurtą neuroninį tinklą).

Lizai Piccirillo patiko mazgų suteikiama intuityvi vizualizacija, tačiau jį mąstė skirtingai nei mazgų specialistai. Ji atsižvelgė į kitus du būdus, kuriais mazgai gali būti susiejami. Kiekvienas mazgas turi susijusią 4-matę formą vadinamą jo„pėdsaku“, kuris gaunamas mazgą uždedant ant 4-mačio rutulio paviršiaus ir prisiūnant tam tikrą „kepurę“ ant rutulio palei mazgą. Pėdsakas gana griežtai užkoduoja mazgą.

Skirtingi mazgai gali turėti tą patį pėdsaką ir tie giminingi pėdsakai, taip sakant, turi tą patį nuopjovos savybę. Tačiau Liza Piccirillo ir A.N. Miller įrodė, kad tie giminingi pėdsakai nebūtinai atrodo tokiais pačiais visiems mazgo invariantams.

Tai Lizai parodė strategiją, leidžiančią įrodyti, kad Konvėjaus mazgas nėra nuopjova. Jei ji sugebėtų sukonstruoti pėdsaką Konvejaus mazgui, galbūt tasai galėtų sąveikauti su nuopjovos invariantais geriau už patį mazgą. Konvėjaus mazgas

Tačiau pėdsako sudarinėjimas yra „suktas“ reikalas. Lizai tai pavyko su „gudriais“ susukimais sukonstruoti sudėtingą mazgą, turintį tokį pat pėdsaką, kaip ir Konvėjaus mazgas. Ir šiam mazgui įrankis, kuris vadinamas Razmuseno invariantu, rodo, kad jis nėra glotnus. Tad taip yra ir Konvėjaus mazgui.

Čia reikia paminėti ir tai, kad mazgų pėdsakai yra klasikiniu būdu, žinomu jau dešimtmečius, tačiau pasirodė, kad Liza juos suprato geriau už kitus. Jos darbas parodė, kad topologai nepakankamai juos įvertino, - ir kartu ji nupūtė dulkes nuo šio metodo.


1) Liza Pikirilo (Lisa Marie Piccirillo, g. 1990 m.) – amerikiečių matematikė, dirbanti geometrijos ir žemų matavimų topologijos srityse. Pasižymėjo 2020 m., įrodydama, kad Konvėjaus mazgas nėra nuorėža. 2020 m. pradėjo dirbti MIT profesoriaus asistente.

2) Nurėžtas mazgas yra matematinio mazgo trimatėje erdvėje tipas, esantis disko paviršiumi 4-matėje erdvėje.

Mazgų teorijoje „mazgas“ reiškia apskritimą ant trimatės sferos S3. Trimačia sfera galime laikyti 4-mačio rutulio B4 paviršių. Tada mazgas K Ì S3 yra nurėžtas (nuopjova), jei jis yra tam tikru būdu į 4-matį rutulį įdėto disko D paviršiumi.

Ką reiškia tam tikru būdu, priklauso nuo konteksto. Jei D yra glotniai įdėtas į B4 tai sakoma, kad K yra glotniai nurėžtas mazgas, o jei K tėra lokaliai plokščiu (kas yra silpnesnis atvejis), tai sakoma, kad K yra topologiškai nurėžtas mazgas.

Istorija prasidėjo 2018 m. vasarą konferencijoje Ostine (Teksase), skirtai žemesniųjų matavimų daugdarų topologijai ir geometrijai. Joje studentė Liza Piccirillo1) iš Sh. Harvey išgirdo apie nedidelę matematinę problemą, kuri jai pasirodė būsią geru bandomuoju pagrindu jos vystomai technikai. Tai buvo klausimas, ar prieš pusamžį Dž. Konvėjaus atrasta 11-os persikirtimų turinti raizgalynė yra kokio nors aukštesnio mato mazgo nuorėža.

Jau po savaitės ji turėjo atsakymą - nėra. Po kelių dienų, susitikusi Ostino un-to prof. C. Gordon’ą, jam pasisakė apie savo sprendimą. Jis iškart pasakė, kad tai turi eiti į „Analus“ (t.y. Annals of Mathematics), vieną aukščiausiai vertinamų matematinių žurnalų. Ir jis ten pasirodė 2020 m. vasarį (jį galite paskaityti čia). Tai jai suteikė nuo liepos 1 d. gauti darbą MIT. O taip pat gavo „Proveržio“ fondo vieną iš trijų 2021 m. Maryam Mirzakhani vardo premijų už ankstyvus moterų pasiekimus matematikoje.

Taip pat skaitykite:
Lisa Piccirillo Fieldso medalis
Begalybė (pristatymas)
Vištų matematiniai pokalbiai
2019-2018 metai matematikoje
Pitagoro skaičiai per Fibonačio seką
Kirmgrauža  tarp matematikos sričių
2018 m. atradimai fizikoje ir astronomijoje
Iš Antikos ateinantis klausimas: kiek jų?
Kodėl matematikoje nežinomąjį žymi „x“?
Endre Szemeredi darbų esmė „ant pirštų“
Kombinatorika, polinomai, tikimybės (nauja)
E. Galua: matematikos genijus, revoliucionierius
Naujos skaičių sistemos siekia atgauti pirminius skaičius
Klasikinės „neišsprendžiamos“ geometrinės konstrukcijos
Žodžių anagramos,  skaičiai,  paprikos ir kt.
Fundamentaliosios matematikos teoremos
Kita skaičiavimo metodų istorijos pusė
Mokslininkui nereikia matematikos!
Revoliucija mazgų teorijoje
Atominio amžiaus vaikai
Kaip supakuoti standžiau?
Tūkstantmečio problemos
Pi keliai ir klystkeliai
Gyvenimo gėlelė
Matematikos keliu
Abelio premija