Gaidys Ferdinandas

Vištų matematiniai pokalbiai

Įvadas

Matematikos skirsnyje buvo sumanyta pateikti vištų hipotetinius „pokalbius“ įvairiais matematiniais klausimais. Seniai brandinta idėja pamažu pradedama realizuoti – ir pateikiami pirmieji trumpi kaimo vištų dialogai. Pagrindinis jų veikėjas yra gaidys Ferdinandas – išmanantis matematikos pradmenis ir bandantis jas paaiškinti gana kvailokoms vištoms... Tikėsimės, kad laikui bėgant ir jos gudrės... ir tai atsispindės naujuose dialoguose.

Dialogas 1. Skaičiai: vienetas

Gaidys Ferdinantas garsiai nuo šiukšlyno, pasilipęs ant krūvos:
- Kakariekū! Ei vištos! Greičiau į čia! Šiandien - bus matematikos paskaita!
- Kud-kudak, kud-kudak, - subruzda kiemo vištos. - Rado slieką, rado slieką!
- Et, jums tik gūžys galvoje! Neišmanėlės - lavintis reikia, į dangų kartais pažvelgti; ir ne tam, kad dėl vanago pasižvalgytumėte. O tai vien po šiukšlyną kapstotės, aukštesnių prasmių neieškote...
- Taip, taip, taip, - sukudakavo ir suskubusios vištos.
- Tai šiandien ir pradėsim. Ar žinote, kas yra skaičius?
- Kud-kudak, kud-kudak; gal koks skanus sliekas? - išdrįso spėti raiboji Cipa.
- Ne, ne, ne, kud-kudak; tai toks žiogas, tik gyvena ne čia, o kaimynų kieme, - paprieštaravo Kipa.
- Tylėt, vištos! - nutraukė gaidys Ferdinandas. - Pradedu paskaitą! Taigi, vištos, ar žinote, kas yra skaičius?
- Kar-kar-kar, … ne! – choru.
- Tad nuo to ir pradėkim: štai kapstotės šiukšlyne ir randate riebų slieką – tai vienas. Aišku?
- Kud-kudak, kud-kudak! – aišku, aišku! – kur, kur, kur?! – subruzda visos.
- Palaukit, nelėkit akis išdegę!... … Ech, ši pirmoji pamoka tuo ir baigėsi – vištų matematikos neišmokysi, - atsiduso gaidys Ferdinandas.

Dialogas 2. Tikimybės: nulis arba vienas

- Ei, raibioji Cipute, ką ten taip įnirtingai kapstai? Nieko gero vis tiek nerasi!..
- Kud-kudak! Bet tikimybė nėra nulis... - Ka-ka-kar! O kas ta tikimybė yr? Lesama? Sliekas ar vabalas koks? – susidomėjo baltagūžė Kipa.

- Ei, vištos, ko čia kudakuojat!? – išgirdęs bruzdesį atskubėjo gaidys Ferdinandas. – Ar nežinot, kad tikimybė yra nulinė tada, kai visai nieko nerasi, kad ir kiek kapstytum!
- Oi, tai man tada reiktų kokių penkių tikimybių, - išdidžiai pareiškė Kipa.
- Ot višta! Tikimybė negali būti didesnė nei vienas! Ir tikimybė lygi vienam tada, jei garantuotai kažką rasi! – mokslinčiaus poza aiškino Ferdinandas.
- Tik vienas?! Tai jei jau vieną rasiu, tai daugiau nebus? – sukluso Cipa.
- Jei iškapstai vieną slieką, tada tikimybė paskaičiuojama iš naujo. Tarkim, krūvoje yra 5 sliekai. Tikimybė iškapstyti slieką yra 1. Jei iškapstysi ir sulesi vieną slieką, tai krūvoje jų liks dar 4. Tad tikimybė iškapstyti dar vieną slieką vis dar tebėra 1 – Tol, kol iškapstysi visus 5-is sliekus. O štai tada tikimybė taps lygi 0, nes krūvoje daugiau sliekų nėra ir, kad kiek kapstytum, nieko daugiau nerasi, - kantriai aiškino Ferdinandas.

- Kar-kar-kar!... – subruzdo Kipa. – Tai kiek sliekų yra šioje krūvoje?
- Iš kur man žinot?! Gal yra, o gal ir nėra.... – sparną apie Kipą ėmė rėžti Ferdinandas.
- Tai kokia tikimybė joje rasti slieką? – neatlyžo Cipa.
- Kažkur nuo nulio iki vieno, višta! – jau atvirai Kipai meilinosi Ferdinandas, kuriam matematika tą akimirką ėmė mažiausiai rūpėti.
- Kar-kar-kar… - su juo flirtavo Kipa. – Gal net cielo slieko ten nėra! Neimsiu ten kapstytis, savo gūžį teptis...

Dialogas 3. Riba dalijant pusiau: nulis

Gaidys Ferdinandas surado didelį storą slieką ir šaukia kiemo vištas:
- Ko-ko-ko! Lėkit čia, žiūrėkit ką radau!!!

Sulekia kiemo vištos. Gaidys nukerta pusę slieko ir atiduoda savo pamiltajai baltagurklei Kiputei.

- Kar-kar-kar! – suklega kitos. - O mums, o mums!..
- Ramiau, vištos! – nuramina Ferdinandas. – Visoms užteks!

Ir pusę likusio slieko nukerta Cipai. Kanapėtajai tenka dar pusė. Išgirdusios klegesį, atplasnoja ir kaimyninio kiemo vištos. Ir visoms kliūva vis po pusę toliau dalijamo slieko gabaliukas.

Ciputė, sudorojusi savo slieko ketvirtį, susimąsto:
- Tai tas sliekas vis dalijant pusiau niekad nesibaigs? Vadinasi vienu slieku begalybė vištų pasisotintų?!
- Ką tu čia, raibute, kudakuoji? Žinoma, taip dalinti slieką galima iki begalybės, tačiau tos puselės tampa „be galo mažomis“ – ir jomis tikrai jokia višta nepasisotins. Sakoma, jos artėja į nulį, o kad tokio dalijimo riba yra nulis. – paaiškino Ferdinandas, tačiau tuo metu jam į akis krito kaimynų skiauterėtoji ir jis ėmė rėžti sparną aplink ją, pamiršęs pavydžiai jį akimis palydėjusias savojo kiemo vištas.

Dialogas 4: Pirminiai skaičiai

Į kiemą užklydo smalsus jaunasis kaimynų gaidžiukas Aistis. Jis užšoko ant tvoros ir garsiai sukakariekavo. Ferdinandas iškart pasišiaušė, pasiruošęs duot atkirtį tam įžūliam įsibrovėliui. Tačiau tasai ėmė raminti kiemo šeimininką:
- Labas, labas... Aš visai nelįsiu prie Kipos... Aš turiu neaiškumų dėl matematikos, norėčiau kai ką geriau suprasti?...
- Ką, ką!? Na gerai, jau gerai… - nusiramino Ferdinandas ir užšoko greta Aisčio ant tvoros. – Tik jokių mano vištų, girdėjai?! Tai kas ten neaišku?
- Na paimkim, kad ir pirminius skaičius...
- Ir kokie tie pirminiai skaičiai?!
- Na, tarkim 5 ir 7 yra pirminiai skaičiai...
- Ne, tai tik pavyzdžiai! Tu man pasakyk apibrėžimą...
- Kaip man aiškino senasis Abelis, - Aistis pasitempė ir ištiesė kaklą, - tai teigiamas sveikas skaičius, kuris dalijasi tik iš 1 ir savęs paties. Ar taip?
- Na, beveik, bet ne visai!..
- Tai kas blogai? Juk 5 dalijasi tik 1 ir savęs, kaip ir 7…
- Su 5 viskas ok. Tačiau jei paimsime 1, tai jis irgi turėtų būti pirminis skaičius, tačiau pirminiai skaičiai matematikos vadovėliuose pradedami vardinti nuo 2, t.y. 2, 3, 5, 7, 11, …
- O taip, prisiminiau, tiesiog 1 nėra pirminis skaičius! Abelis man tai sakė...
- Taigi, tavo apibrėžimą galima patikslinti taip: „Pirminis skaičius - teigiamas sveikas skaičius, kuris dalijasi tik iš 1 ir savęs pačio, išskyrus 1“. Tačiau geriau sąlygą iškelti į priekį, pvz. taip:
 „Teigiamas sveikas skaičius, didesnis už 1, yra pirminis, jei dalijasi tik iš 1 ir savęs paties“.
- Aišku,... Aš žinau, kad 1 nėra pirminis skaičius, tačiau nesuprantu kodėl. Kodėl jį reikia išskirti? Juk turėtų būti kokia nors priežastis?!
- Priežastis? – subruzdo ant tvoros Ferdinandas.
- Taip, juk turėtų būti kažkas, dėl ko 1 išmetė iš pirminių skaičių sąrašo. Bet gal tai labai kvailas klausimas?..
- Ne, tai visai nekvailas klausimas, - dabar jau pasitempė ir neklusnią uodegos plunksną pasitaisė Ferdinandas, pratęsdamas pakeltu balsu. - 1 nelaikomas pirminiu skaičiumi dėl vienatinumo reikalavimo skaičiaus faktorizacijos pagrindinėje aritmetikos teoremoje.
- Ką, ką, ką... Ko vienatinumo? Visai nieko nesupratau...
- Tai bet kurio sveiko teigiamo skaičiaus savybė, kad jis vieninteliu būdu išreiškiamas pirminių skaičių sandauga (tai vadinama faktorizacija). Tarkim, 60 galima faktorizuoti 60 = 2x2x3x5. Aišku, daugiklių tvarka gali būti bet kuri, tačiau visi daugikliai vis tiek yra tie patys. Faktorizacijoje ypač svarbu yra pabrėžti jos vienatinumą, todėl 1 ir neįtrauktas į pirminius skaičius.

Dabar jau atėjo eilė subrusti Aisčiui:
- Tu sakai, kad kažkas apibrėžiamas taip todėl, kad apibrėžimas nesutrukdytų kažkam kitam?!
- Hm, hm… Tai nemalonus dalykas, tačiau taip yra. Matai, matematikai visada ieško naudingų koncepcijų, kad sukurtų vientisą matematikos pasaulį. Kai jie suranda kažką tinkama, jie tam suteikia pavadinimą. Tai ir yra apibrėžimas. Tu gali 1 laikyti pirminiu skaičiumi (kadaise taip ir buvo laikoma), jei tik nori. Tačiau yra skirtumas tarp norimo ir naudingo apibrėžimo. Leidžiant 1 būti pirminiu skaičiumi būtų pažeistas skaičiaus faktorizacijos unikalumas....
- Uf, uf... nesu tikras, kad viską gerai supratau.... Kaip gi 1 pažeidžia tą unikalumą?!
- Gerai, - Ferdinandas šoktelėjo dar aukščiau ant tvoros baslio ir dabar aiškino tarsi iš katedros. – Jei 1 būtų pirminiu, tada 60 galima būtų išreikšti ne tik 2x2x3x5, tačiau ir 1x2x2x3x5, 1x1x2x2x3x5 ir t.t.

Tuo metu kieme pasirodė Kipa, kuri sustojo, kraipydama galvą ir bandydama suprasti, ką ten ant tvoros aiškinasi du gaidžiai. Ji koketiškai pakedeno plunksnas ir lėtai nužingsniavo kiemo pakraščiu. Abu gaidžiai ją pamatė ir Ferdinandas pastebėjo, kaip aistringai Aistis stebi ją. „Nebus nieko gero...“, - pamanė Ferdinandas, kuriam visai nesinorėjo konflikto šį gražų rytmetį po tokios protingos pamokos...

- Gerai, Aisti, keliauk jau į savo kiemą, aš turiu savų reikalų, - pareiškė Ferdinandas ir nušoko nuo tvoros. Aisčiui dar norėjosi paspoksoti į dailiąją Kipą, tačiau jis pajautė Ferdinando pavydą ir nusprendė šįryt dar nesimeilinti jai. „Ferdinandas dar turi parako. Mano laikas dar ateis...“, - šmėkštelėjo jo mintyse. Jis irgi nušoko į savo kiemo pusę.

Dialogas 5: Apie Pitagoro teoremą ir kelnes

- Kar, kar... Ką čia darai? – susidomėjo raiboji Cipa.
- Na va, matematikos uždavinukus sprendinėju, - atsiliepė baltagūžė Kipa.
- Na ir duodi! Tokiais niekais užsiiminėti!
- Ką tu vadini niekais? Matematika – mokslų karalienė!
- Kar, kar!... tik jau nereikia. Matematika – aplamai ne mokslas, o vien kvailų taisyklių knibždėlynas. Kas tau tokių arabų pripūtė?
- Ferdinandas...
- Na, gerai, ... daugybos lentelė gal ir neblogai, ji pasitarnavo žmonių kultūros vystymui. O tada žmonės mums šildomas grindis vištidėje įrengė, oro kondicionavimą... Bet kam toliau reikalus painioti?! Juk gamtoje nėra jokių ten integralų ar logaritmų, ar kaip ten jie vadinasi. Visa tai tik prasimanymai!..
- Palauk, ką čia kudakuoji?! Niekas nieko neprasimanė! Matematikai nustatė naujus skaičių sąryšius…
- Ir tu tuo tiki?! Nori pavyzdžio?
- Nu… malonėk…
Pitagoro teorema - Imk Pitagoro teoremą.
- Ir kas gi joje tau ne taip?
- „Pitagoro kelnės visose pusėse lygios*) “ – va kas! Tu supranti, kad Pitagoro laikais graikai nenešiojo kelnių! Kaip Pitagoras galėjo samprotauti apie tai, apią ką neturėjo nė mažiausio supratimo?!
- O prie ko čia kelnės?
- Juk jos, berods, Pitagoro. Tu sutinki, kad Pitagoras neturėjo jokių kelnių?
- Taigi Pitagoras niekur nieko nesakė apie kelnes!
- Tai tu tai pripažįsti!?
- Na… kartoju… Pitagoras niekur nieko nesakė apie kelnes – ir nereikia jam priskirti visokių išsigalvojimų!
- Aha, pati sutinki, kad nesakė...
- O tu pati bent žinai tą teoremą?
- Girdėjau...
- Iš ko?!
- Lobačevskio.

Įsivyravo ilga pauzė. Kipa liko išsižiojusi, o Cipa ėmė snapu kasytis po sparnu. Galiausiai Kipa atsitokėjo:
- O kokį gi ryšį Lobačevskis turi su Pitagoro teorema?
- Na jis irgi matematikas – ir kaip sako, dar krūtesnis už Pitagorą.
- Ir ką tas Lobačevskis sakė apie Pitagoro teoremą? – Kipa giliai atsiduso.
- Kad kelnės lygios. Bet tai kliedesiai! Kas iš viso gali tokias kelnes nešioti?! Ir dar, jei Pitagoras iš viso nenešiojo jokių kelnių…
- Taip sake Lobačevskis? – galvą kraipė Kipa.
- Taip! Kar! – po sekundės uždelsimo karktelėjo Cipa.
- Ir kur tu tai radai?
- Mačiau laikraštyje... Šiukšlyne mėtėsi skiautė su straipsniu... Apie tai, kad Lobačevskis iš tikro buvo vokiečių žvalgybos agentas... na tai su tema nesusiję. Tačiau vis vien greičiausiai taip pasakė. Jis gi irgi matematikas, reiškia, su Pitagoru išvien....
- Pitagoras nieko nesakė apie kelnes!
- Na matai! Apie tai ir kalbam. Niekai visa tai.
- Kar… kar… pradėkim nuo pradžių. Tu žinai, apie ką Pitagoro teorema?
- Baik! Visi juk žino! Bet kurią vištą paklausk – ir ta pasakys!
- Aš tau pasakysiu: Pitagoro teorema teigia, kad statinių kvadratų suma lygi įžambinės kvadratui. Ir tai VISKAS!
- O kur kelnės?
- Nebuvo pas Pitagorą jokių kelnių!
- Na matai. Teisingai tau kartoju, kad matematika – vieni niekai!

Staiga abi vištos išgirdo šaukiant gaidį – jis ten šiukšlyne kažką rado ir garsiausiai šaukiasi visas savo kiemo vištas. Ir tikrai, šiukšlyne visada gali rasti daug gerų dalykų. Reikia skubėti, kad anksčiau už kitas suspėtum – sliekai nematė tų statinių, įžambinių ir kelnių ant jų. Lekiam!


*) Pitagoro kelnės iš visų pusių lygios:
Jei netiki - nusimauni jas ir parodai!

Kelnių vaizdinys čia suprantamas – jos įrodyme ant trikampio kraštinių nubrėžti kvadratai mokiniams priminė kelnių iškarpas. Nors... iš kurios pusės pažiūrėsi – Viduramžių mokslininkai šią teoremą vadino pons asinorum - „asilų tiltas“.


Taip pat skaitykite:
Fraktalai
Grandi paradoksas
Kvadratinė lygtis
Aritmetikos pagrindai
Višta mitologijoje
Matematika ir muzika
Begalybė: pristatymas
2018 metai matematikoje
Pi keliai ir klystkeliai
Parabolės lenktas likimas
Matematikos pradžia Lietuvoje
Mokslininkui nereikia matematikos!
Nepaprasti Visatos skaičiai: 8
Kombinatorika, polinomai, tikimybės
Paradoksai sulig dirbtiniu intelektu
Pitagoro skaičiai per Fibonačio seką
Klasikinės „neišsprendžiamos“ geometrinės konstrukcijos
G. Perelmanas - keistuolio nesuprasi?
Ar nepabandysite išpręsti uždavinį?
Matematikos atgimimas Lietuvoje
Pagrindinės statistinės sąvokos
Ar įrodytas abc teiginys?
Mažosios saulės mįslės
Santykis ir proporcija
Prometėjo pėdsakas
Zenono paradoksai
Gyvenimo gėlelė
Matematikos keliu
Pirminiai skaičiai
Topologija