Parabolės lenktas likimas

Čia pateikiami grynai matematiniai parabolės aspektai. Apie kitus parabolės panaudojimus skaitykite R. Kudžmos paskaitos konspekte

Pasaulių begalybė,... paraidžiui, pasauliai be pabaigos

Kūgių pjūviai yra tarp anksčiausiai tirtų kreivių. Tai kreivės, kurios gaunamos kūgį kertant plokštuma. Kertant plokštuma lygiagrečia kūgio pagrindui gauname apskritimą, kai nuožulniai kerta vieną kūgį - elipsę arba parabolę, kai iškart abi dvigubo kūgio dalis - hiperbolę.
Kūgio pjūvis, kai kertančioji plokštuma yra lygiagreti šonui, yra parabolė (šio fakto įrodymas pateikiamas toliau >>>>).

Kūgius nagrinėjo jau Menaechmas (375-325 m. pr.m.e.), buvęs Platono ir Eudokso mokiniu. Jis bandė išspęsti garsiąją kubo tūrio padvigubinimo problemą. Kūgius nagrinėjo ir Euklidas (325-265 m. pr.m.e.) bei Apolonijus (262-190 m. pr.m.e.). Pastarasis rezultatus apibendrino traktate “Apie kūgius” (“Konikės”), kurį sudarė 8 knygos, turinčios 487 teiginius. Apolonijus gautus rezultatus taikė planetų judėjimui aprašyti. Ir, atrodo, jis buvo pirmasis panaudojęs terminus elipsė, parabolė ir hiperbolė, nors paskutiniu metu tuo suabejota. Parabolės židinys ir direktrisė buvo Papuso tyrinėjimų objektas.

Renesanso laikotarpiu Keplerio nustatyti planetų judėjimo dėsniai, Dekarto ir Ferma koordinačių geometrija bei Desargues, La Hire ir Paskalio (parabolę nagrinėjęs kaip apskritimo projekciją) sukurtos projekcinės geometrijos užuomazgos kūgių savybių nagrinėjimus pakėlė į naują lygį. Galilėjus parodė, kad mesti kūnai veikiami gravitacijos brėžia paraboles. Gregory ir I. Niutonas aptarė parabolės savybę lygiagrečius spindulius nukreipti į židinį. Tarp kitų tyrinėtojų reikia paminėti Dandelin‘ą, Gergonne, Poncelet‘ą, Brianchon‘ą, Dupin,‘ą Chasles ir Šteinerį.


Kūgis

Kad kūgio tūris yra lygus pagrindo plotui padaugintam iš trečdalio aukščio, pirmasis nustatė Eudoksas, o įrodymus vėliau pateikė Archimedas (“Apie sferą ir cilindrą”, apie 225 m. pr.m.e.) ir Euklidas (”Elementų” teiginys XII.10):
Kūgio tūris

Kūgio šono aukštis:
Kūgio šonas

Kūgį galime apibrėžti tokiomis parametrizuotomis lygtimis:
Kūgio parametrizuotos lygtys

Kūgio paviršiaus plotas (be pagrindo):
Kūgio paviršiaus plotas


Parabolė

Dekarto koordinačių sistemos bendroji parabolės lygtis yra kvadratinė lygtis
:
y=ax2+bx+c

Apibrėžimas. Tiesei D (direktrisei) ir jai nepriklausančiam taškui F, vadinamam židiniu, parabolė yra visuma taškų P, nubrėžiamų plokštumoje taip, kad atstumas tarp P ir F lygus atstumui tarp P ir D.

Židinio atstumas nuo direktrisės yra
p=FO=2a,
kur a yra atstumas nuo parabolės viršūnės iki direktrisės (VO) arba nuo viršūnės iki židinio (VF) - jie yra vienodi.

Paviršius, gautas sukant parabolę aplink jos simetrijos ašį, vadinamas paraboloidu.

Parabolės, kurios šakos nukreiptos į dešinę, o viršūnė yra taške (0,0), lygtis Dekarto koordinačių sistemoje yra
Parabolės lygtis su viršūne taške (0,0)
(x-a)2 + y2 = (x+a)2  (1)
x2-2ax+a2+y2=x2+2ax+a2
t.y.
y2=4ax  (2)

Kūgio pjūviai
Kūgio pjūviai
Kūgiai

Dydis 4a dar vadinamas latus rectum (tai direktrisei lygiagreti per židinį einanti styga, a - parabolės parametras). Parabolės, kurios šakos nukreiptos į viršų, lygtis būtų x2=4ay. Jei parabolės viršūnė yra taške (x0, y0), tada parabolės lygtis (su šakomis į dešinę):
(y-y0)2=4a(x-x0)  (3)

Paaiškinimas

(1) lygtis išvedama žinant, kad stačiojo trikampio įstrižainės (c) ilgis randamas sprendžiant lygtį c2=a2+b2, kur a ir b yra kraštinių ilgiai.

Nuleidžiame statmenį iš taško P’ gaudami trikampį trikampisFA’P’.
Taško V koordinatės yra (0,0). OV=VF=a.
Tada:
O’P’=OV+VA’=x+a
FA’=x-a

Tad trikampio įstrižainei FP’ (kuri lygi O’P’, pagal parabolės apibrėžimą)
FP’2=FA’2+A’P’2
Vietoje FP’ įstačius O’P’ ir koordinačių žymenis gausime
(x+a)2=(x-a)2+y2

Poliarinėse koordinatėse, židiniui esant taške (0,0), parabolės lygtis būtų:
r=-2a/(1+cos q)

Parabolės braižymas naudojant įtemptą siūlą

Tam reikia liniuotės ir stačiojo trikampio, kurio viename iš smailiųjų kampų (iliustracijoje, S) pritvirtintas siūlas, kurio ilgis lygus statinio SN ilgiui. Kitas siūlo galas tvirtinamas brėžiamos parabolės židinyje F. Liniuotė pridedame prie direktrisės. Kitą stačiojo trikampio statinį priglaudžiame prie liniuotės ir slenkam palei ją. Pieštuko galu įtempiame siūlą ir prispaudžiame prie statinio SN. Trikampiui slystant palei liniuotę pieštuko smaigalys brėžia parabolę.

Parabolės brėžiama kreivė

Parabolės viršūnės brėžiama kreivė parabolei riedant tokia pat kita parabole yra cizoidė. Ją naudojo senovės graikų matematikas Dioklas, spręsdamas kubo padvigubinimo uždavinį. Beje, Dioklas nustatė, kad parabolės formos veidrodžiai spindulius nukreipia į židinį – tai aprašydamas veikale „Apie uždegančius veidrodžius“.
Daugiau apie tai skaitykite Dioklas ir jo cizoidė


Etimologija

Reikšmės graikų kalboje:
Hiperbolė - numesta už;
Elipsė - krentanti arti;
Parabolė - numesta šalia.

Tai gali būti susiję su jų židinių atstumu nuo viršūnės - didesniu, trumpesniu ar lygiu atstumui iki direktrisės. Arba kertančiai plokštumai - už kūgio (nes kerta kitą), netoliese (nukertant gabalą) ar „nubėgant lygiagrečiai šalia“.

Parabolė ir jos dalys

Parabolės nubrėžimas

Cizoidė - kreivė

Parabolės savybės

Parabolės židinys

1. Ploną, gerai šviesą atspindinčią juostelę (pvz., foliją) sulenkus parabolės forma, ir į ją nukreipus lygiagrečių šviesos spindulių pluoštą, atsispindėję spinduliai praeis pro židinį.

Kita vertus, židinyje patalpinus šviesos šaltinį, nuo parabolės atsispindėję spinduliai sklis lygiagrečiai jos ašiai.
Tai panaudojama prožektoriuose, mašinų žibintuose, švyturiuose, kur naudojamas paraboloidas, kuris gaunamas apie ašį sukant parabolę.

Amerikietis Robertas Vudas, sukdamas indą su gyvsidabriu, sukūrė parabolinį veidrodį – tai buvo puikus veidrodis. Jis panaudotas teleskopo gamybai.

Jei paimtume labai didelį parabolinį veidrodį ir jį nukreiptumėm į saulę, tai židinyje susidarytų toks karštis, kad būtų galima lydyti plieną (lot. focus ir reiškia karščio šaltinį). Legenda pasakoja, kad Archimedas (287-212 m. pr.m.e.), gindamas Sirakūzus, romėnų laivyną sudegino naudodamas panašiais veidrodžiais (išdėstęs gerai nušlifuotus skydus - papildomai paskaitykite apie tokios galimybės įmanomumą). Tokia parabolinių veidrodžių savybė naudojama konstruojant saulės krosnis, teleskopus ir pan. Parabolinės radarų antenos į vieną tašką sutelkia radiolokatoriaus signalus, atsispindėjusius nuo skrendančių objektų.

2.  Kampu mestas akmuo (ar patrankos sviedinys), svorio jėgos veikiamas, skrieja parabole. Tiesa, oro pasipriešinimas iškreipia trajektoriją. Jei sviedinys skrietų tuštuma, trajektorija būtų tiksli parabolė.

Iššovus sviedinius tuo pačiu pradiniu greičiu, tačiau skirtingais kampais, gauname skirtingas paraboles, o sviediniai nulekia skirtingus nuotolius. Didžiausias atstumas vamzdį nustačius 45o kampu – jis apytiksliai lygus v2 / g, kur g - laisvojo kritimo pagreitis. O štai šaunant vertikaliai aukštyn, sviedinys pakiltų į v2 / 2g aukštį, t.y. dukart mažesnį nei maksimalus nuotolis.

Be to, esant tam pačiam pradiniam greičiui, kad ir kaip sukiotume patrankos vamzdį, ant žemės paviršiaus ir virš jo bus vietų, kur sviedinys negali patekti. Šias vietas nuo pavojingų zonų taip pat skiria parabolė, kuri vadinama saugumo parabole. Parabolės, kuriomis skrieja sviediniai, liečia saugumo parabolę – tad ji yra visų galimų parabolių gaubiamąja. Ją nagrinėjant erdvėje gauname paviršių – sukimosi paraboloidą.
Saugumo parabolė

Parabolė kaip tiesių šeimos gaubiamoji Svaidyklių mėtomų svorių trajektorijomis domėjosi jau Aristotelis (384-322 m. pr.m.e.), tačiau jo svarstymai nebuvo paremti bandymais, tad tolimi nuo tiesos.

Vienuolis Bertoldas Švarcas 13-e amžiuje išrado paraką (žr. >>>>>). Pradžioje patrankos naudotos tik tiesioginiam šaudymui, be priedangos. Ištyrinėjus sviedinių trajektorijas, imta šaudyti iš už priedangų. Pirmasis tai tyrinėjęs matematikas buvo Nikolo Tartalja (1500-1577) iš Venecijos. Tačiau to meto mokslininkai nepripažino jo atradimų, kurie dabar vadinami kitais vardais. O ir Tartalja nežinojo dėsnių, kuriems paklūsta skriejantys sviediniai – juos pirmąkart nustatė Galilėjus.

3.  Parabolė kaip tiesių šeimos gaubiamoji
Kaip ir elipsė bei hiperbolė, parabolė yra tam tikros tiesių šeimos gaubiamoji – t.y. ji liečia visas tos šeimos tieses. Tas tieses galima gauti taip:

Popieriaus lape pažymėkime tašką A ir greta jo nubrėškime tiesę l. Tada per kiekvieną tiesės l tašką N, nubrėžę tiesę, statmeną NA, gausime tiesių šeimą. Šių tiesių gaubiamoji yra parabolė.
Parabolės liestinė
Parabolės liestinė

4.  Parabolės židinio savybė

Tegu F yra parabolės židinys, l – direktrisė, X – kažkuris parabolės taškas, o XH – statmena l. Reikia įrodyti, kad parabolės lietinė taške X sudato vienodus kampus su tiesėmis XF ir XH (1 pav.).

Įrodymas. Iš parabolės apibrėžimo turime XH=XF – taigi X priklauso atkarpos FH simetrijos ašiai m. Įrodysime, kad ši simetrijos ašis ir yra parabolės liestinė, t.y. simetrijos ašis su parabole turi vieną bendrą tašką (X), o parabolė yra vienoje simetrijos ašies pusėje.

Tiesė mdalija prokštumą į dvi dalis, kurių vieną sudaro taškai, esantys arčiau F negu H. Įrodysime, kad parabolė yra kaip tik šioje tiesės pusėje.

Tegu M yra parabolės taškas (žr. 2 pav.), nesutampantis su X ir MH1 yra statmena l. tada iš parabolės taškų savybės turime MH1=MF, kur MH1 yra M atstumas iki l. Statmuo yra trumpesnis už pasvirąją, todėl MH1 < MH, t.y. kiekvienas parabolės taškas (taškas M), išskyrus X, yra pusplokštumėje, kurią sudaro taškai, esantys arčiau F negu H. Taškas X yra vienintelis vienodai nutolęs nuo F ir H. Įrodėme, kad atkarpos HF simetrijos ašis m yra parabolės liestinė, o X - lietimosi taškas.
Atkarpos FX ir XF yra simetriškos liestinės m atžvilgiu, taigi m su FX ir XH sudaro vienodus kampus.


Įrodymas apie kūgio pjūvį

Teiginys:  Kūgio pjūvis, kai kertančioji plokštuma yra lygiagreti šonui, yra parabolė.

Kūgio pjūvis: parabolė

Čia pateiksime Apolonijaus įrodymą.
Kūgio pjūvis: bendras vaizdas

Kūgio pjūvis: pagrindo pjūvis Nuo kūgio skersmens PR iš taško M, esančio ant gautos kreivės ašies, iškelkime statinį ML. Turime statųjį trikampį PLR, įbrėžtą į pusapskritimį. Pabandysime nustatyti sąryšius tarp ML ir EM (E yra kreivės viršūnė).

Trikampiai PML ir LMR yra panašūs, o panašiems trikampiams galioja:
PM/ML = ML/MR
Iš čia
ML2 = PM * MR           (1)

Tada Apolonijus statmenai EM brėžia atkarpą EH, tokią, kad:
EH/EA = (BC/BA) * (BC/AC)           (2)
Kūgio pjūvis: parabolė plokštuma

Dabar panagrinėkime trikampius ABC, APR ir EPM kreivės ašies plokštumoje, Jie visi yra panašūs pagal lygiagrečių tiesių savybes. Iš jų panašumo gauname:
BC/BA=PR/PA=PM/PE           (3)
BC/AC=PR/AR=PM/EM           (4)

Apjungę (2), (3) ir (4) gauname:
EH/EA=(PM/PE)*(PM/EM)           (5)

O kadangi EM yra lygiagreti AR (pagal mūsų pjūvio sąlygą), trikampyje APR turime:
PM/PE=MR/EA           (6)

Įstatę (6) į (5), gausime:
EH/EA=(MR/EA)*(PM/EM)           (7)

Kadangi akivaizdu, kad
EH/EA=(EH/EA) * (EM/EM)
tai, ją apjungus su (7), gausime
MR * PM = EH * EM

Iš (1) prisiminę, kad ML2 = PM * MR, turime
ML2 = EH * EM

O čia įvedus mums įprastus pažymėjimus y=ML, x=EM ir p=EX, gausime parabolės lygtį:
y2=px

Iš čia aiškėja, kodėl Apolonijus panaudojo žodį „parabolė“. Jis įrodė, kad ML kvadratas lygus stačiakampiui, taikomam (paraboli) EH, kurio kita kraštinė yra EM. Tai remiasi plotų skaičiavimo metodu, kurią graikai naudojo ilgių ir figūrų daugybai bei dalybai.


Automobilio lempa

Automobilio lempa - vienas parabolės savybių panaudojimo pavyzdžių...

Robertas Vudas (Robert Williams Wood, 1868-1955) – amerikiečių fizikas-eksperimentatorius ir išradėjas. Nuo 1935 m/ Amerikos fizikų draugijos prezidentas. Pagrindine domėjimosi sritimi buvo optika: jis atrado ir ištyrė optinį rezonansą, nustatė gyvsidabrio garų rezonansinį ultravioletinį spinduliavimą, atrado rezonansinio spinduliavimo poliariškumą ir jo priklausomybę nuo magnetinio lauko, pradėjo fotografuoti UV diapazone, kuriame pirmąkart padarė ir Mėnulio nuotraukas, sukonstravo „Vudo lempą“, skleidžiančią tik UV spindulius ir naudojamą medicinoje, aptiko aukštą augalų atspindamąją galią infraraudonų spindulių diapazone (Vudo efektas) ir kt.

1909 m. sukūrė pirmąjį praktinį panauojimą turintį skysto gyvsidabrio parabolinį teleskopą ir ištyrė jo privalumus ir trūkumus. Kartais jį laiko ašarinių dujų išradėju.

Kartu su A. Treinu parašė du mokslinės fantastikos romanus: „Žmogus, kuris sukrėtė Žemę“ (1915) ir jo tęsinį „Antrasis Mėnulis“ (1916). Taip pat parašė ir iliustravo dvi knygas vaikams (1907-08).

Nikolo Tartalja (Niccolo Fontana Tartaglia, 1500-1557) – italų matematikas ir inžinierius, be matematikos nagrinėjęs ir praktinius topografijos bei balistikos klausimus. Jau pirmajame savo traktate „Nuova scienza“ nagrinėjo iššauto sviedinio trajektorijas. Jis nurodė, kad visa sviedinio trajektorija yra viena kreivė, o ne dvi tiesios atkarpos, sujungtos viena kreive, kaip laikyta anksčiau. Taip pat užsiiėmė miestų fortifikacija.
Tačiau svarbiausiu jo kūriniu yra „Generale trattato de numeri e misure“ (1556-1560), kuriame nuodugniai nagrinėja aritmetikos, algebros ir geometrijos klausimus. Anot jo, jis nepriklausomai nuo kitų atrado kubinių lygčių sprendimo bendrą algoritmą (perduotą Kardanui, kuris jį paskelbė 1545 m., ir kuris dabar vadinamas „Kardano formule“). Pirmasis į italų kalbą išvertė Archimedo ir Euklido darbus.

Jakobas Šteineris (Jakob Steiner, 1796-1863) – šveicarų matematikas, daugiausia darbavęsis geometrijos srityje; 2-o ir aukštesnių eilių kreivių ir paviršių sintetinės geometrijos pradininkas. Padarė svarbių tyrinėjimų ekstremumų (minimumų, maksimumų) srityje; nedidelis, bet svarbus indėlis yra ir kombinatorikoje (dviejų puslapių straipsnyje išdėstęs tai, kas šiandien vadinama Šteinerio sistema).

Taip pat skaitykite:
Matematikos keliu
Kvadratinė lygtis
Dioklas ir jo cizoidė
Parabolės prasmių ieškant
Archimedas ir jo laikmetis
Hipatija – pirmoji matematikė
Skaičiai – apžvalga/ pradmenys
Matematikos šlovė ir garbė
Pagrindinė aritmetikos teorema
Didžiausias bendras daliklis
Didžioji Ferma teorema
Euklidas iš Aleksandrijos
A. Puankarė. Mokslas ir hipotezė
Kombinatorika, polinomai, tikimybės
Klasikinės „neišsprendžiamos“ geometrinės konstrukcijos
Ar nepabandysite išpręsti uždavinį?
Proveržis skaičiuojant skaidinius
Matematikai: Davidas Hilbertas
Revoliucija mazgų teorijoje
Hiparchas iš Rodo
Dalyba iš nulio
Begalybė (pristatymas)
Pitagoro teorema
Algebros istorija
Pirminiai skaičiai
Erdvės formos