Ilgus metus matematikai bandė spręsti matematines problemas įtraukdami naujas reikšmes į įprastinių skaičių sistemą. O dabar jie ėmėsi nagrinėti nelauktas to veiksmo pasekmes.

1847 m. Gabriel Lamė¹⁾ įrodė Ferma Didžiąją teoremą; arba bent jau jis taip manė. Tai buvo prancūzų matematikas, padaręs daug atradimų. O tų metą kovą – ko gero didžiausią: elegantišką įrodymą problemai, ties kuria per 200 m. galvas laužė šviesiausios galvos. Jis atrado, kad Ferma teoremą galima įrodyti išplėtus skaičiavimo sistemą keliomis egzotiškomis reikšmėmis.

Naujų reikšmių įtraukimas nėra sudėtingas. Tereikia visas reikšmes naujoje sistemoje imti užrašinėti a+bv forma (kur v - naujai įtraukta reikšmė. Tada naujoje sistemoje išlaikoma visos aritmetikos taisyklės – ir tokios sistemos dabar vadinamos žiedu.

Tačiau sunku prikaišioti kažką nesulaukiant pasekmių. Pradžioje viskas atrodė gerai. Tačiau kiti matematikai pastebėjo, kad tas naujasis funkcionalumas turi aukštą kainą – naujoji sistema netenka pirminių skaičių faktorizacijos, t.y. bet kurio skaičiaus vienintelės išraiškos pirminių skaičių sandauga. O tai jau sugriauna įprastinės aritmetikos pagrindus.

Pvz., jei įtraukiama kvadratinė šaknis iš -2 (), tai 6 išreiškiamas ne tik 2*3, bet ir 2*(1+)*(1-). Abiem atvejais visi daugikliai yra pirminiai naujoje sistemoje. Kita vertus, ta spraga leido išvystyti algebrinę skaičių teoriją. O dabar matematikai klasifikuoja naujas tokias sistemas pagal tai, kiek skirtingų skaičiaus faktorizacijų joje egzistuoja.

Beveik tuo pat metu, kai G. Lamė pateikė savo „įrodymą“, vokiečių matematikas Ernst Kummer‘is sukūrė būdą faktorizacijos pataisymui įtraukdamas „idealius skaičius²⁾ “. Tai ne skaičiai įprastine prasme, o konstrukcijos aibių teorijoje turinčios panašias į skaičius funkcijas.

Paprasčiausio idealo pavyzdžiu būtų visi skaičiai, turintys daugiklį 5 (t.y., 5, 10, 15, 20,...). Idealus galima įtraukti į išplėstą skaičių žiedą atstatant prarastą faktorizaciją.

Idealai gali būti suskirstyti į skirtingas klases. Skirtingų idealų, kuriuos reikia įtraukti į žiedą, kad būtų atstatyta faktorizacija kiekis vadinamas žiedo „klasės numeriu“. Klasės numerių analizė siekia K. Gausą 19 a. pradžioje. Požymiu, kaip sunku pasistūmėti šioje srityje rodo tai, kad daugelis rezultatų šioje srityje tebėra laukiami.

Tarp Gauso indėlio yra ir jo teiginys, kad yra be galo daug teigiamų kvadratinių skaičių šaknų, kurias galima įtraukti į skaičių sistemą neprarandant faktorizacijos. Ir sklinda gandai, kad jo įrodymas taip suerzino K. Giodelį, kad tasai užmetė skaičių teoriją. Taip pat Gausas iškėlė teiginį, kad tėra tik 9-ios kvadratinės šaknys iš neigiamų skaičių, išlaikančios faktorizaciją. Paskutiniąja yra .

Šiuolaikiniai matematikai jau nemažai remiasi ir 20 a. 8-o dešimtm. pabaigos prancūzo H. Cohen‘o³⁾ ir olando H. Lenstra⁴⁾ darbais. Jiedu suformulavo eilę spėjimų apie tai, kaip dažnai pasirodo tam tikri klasių numeriai (t.y., kaip jie pasiskirstę). Pvz., spėjama, kad 43% jų yra dalūs; iš jų yra dalūs iš 3 tais atvejais, kai prijungiamas neigiamų skaičių kvadratinės šaknys. Šiais laikas spėjimus galima pasitikrinti kompiuteriais, tačiau jų įrodymas visai kitas klausimas.

Tai, kad klasių skaičiai nėra pasiskirstę atsitiktinai reiškia kažką įdomaus glūdinčio po paviršiumi. Minėti idealai sudaro tų skaičių žiedų „klasių grupes“. O grupės turi įdomių savybių, kurios nėra aiškios žinant vien jas sudarančių elementų kiekį. Tai kaip realiame gyvenime šeimos narių skaičiaus žinojimas nieko nesako apie tų narių tarpusavio sąryšius.

Todėl matematikams reikia tirti klasių grupių struktūras. Pvz., juos domina simetrijų kiekių atskirose grupėse palyginimas manant, kad daugiau simetrijų turinčios grupės pasitaiko rečiau. Čia tos priklausomybės supratimui tiktų geometrinis pavyzdys:

Pradėkime nuo trijų taškų, galinčių sudaryti trikampį (tie taškai panašūs į grupės elementus, tačiau nėra grupe jokia matematine prasme). Tada pagalvokime, kaip juos galima sujungti linijomis (kurios atitinka matematinius sąryšius). Galimi 8 atvejai (nuo linijų nebuvimo iki trijų linijų – žr. iliustraciją). Tarp jų trikampis turi 6-ias simetrijas ir sutinkamas tik kartą. Atviri „nasrai“ yra 3 kartus – arba kitaip tariant, trikampis turi triskart didesnę simetriją nei dviejų linijų sudarytas „nasrų“ kampas. Toji priklausomybė (kuo daugiau turi simetrijų, tuo rečiau pasitaiko) pereina per visą matematiką. Ir yra begalybė dvimačių formų be simetrijos ir tik viena forma turi begalybę simetrijų – tai apskritimas.

Toji priklausomybė galioja ir grupių sudarymui. Grupėse sąryšiai nustatomi pagal tai, kaip kartu elementai gali būti įdėti į grupę. Tie grupių sąryšiai privalo tenkinti tam tikras aksiomas: būti asociatyvūs ir komutatyvūs sudėties atžvilgiu ir turėti nulinį elementą (t.y., kurio pridėjimas nekeičia pradinio elemento).

O dabar paimkime dvi grupes G1 ir G2 iš 4 elementų, kuriose skiriasi adityvūs ryšiai tarp elementų. Lentelėse parodoma, kas nutinka įdedant po elementą į tas grupes:

Grupėje yra „simetrija“, jei galima jos elementus pertvarkyti taip, kad būtų išlaikyta adityvi grupės struktūra. G2 turi dvi simetrijas: a) „tapatumo“ simetrija (kai nekeičiate vietomis jokių elementų) ir simetrija, kai z sukeičiama su x (nes x+x=y ir z+z=y).

G1 turi daugiau simetrijų. Joje sukeičiami a, b ir c elementai (nes a + a = 0, b + b = 0 ir c + c = 0). Taigi turimos 6 simetrijos (automorfizmai) – triskart daugiau nei G2. Taigi, tikimasi G2 sutikti triskart dažniau.

Kai matematikai susiduria su klasės numeriu, jie nori žinoti jį atitinkančios grupės struktūrą. Jei jie nustato, kaip dažna tos struktūros grupė, jie sužino, kaip dažnai turėtų pasitaikyti klasės numeris (t.y. jų pasiskirstymą).

Naujas būdas patikrinti struktūrą

Grupes G1 ir G2 gana (santykinai) lengva patikrinti. Gerokai sunkiau su idealų grupėmis; nelengva net pateikti jų sudėties lenteles. Vis tik matematikai turi būdų dirbti su jomis, net jei ir nemato visumos. Pvz., jie gali nustatyti, kaip toli nuo nulio yra jos elementai.

Matematikai bando gauti pajautą elementų kiekiui klasės grupėje turinčioje tai, ką jie vadina „n-sąsūka“, kuri reiškia, kad sudėjus n elemento kopijų gauname grupės nulį. Pvz., 2-sąsūkai x + x = 0, 3-sąsukai x + x + x = 0 ir t.t.

Vienas būdų išsiaiškinant grupių skirtumą yra nustatyti, kiek daug elementų jose turi 2-sąsūką. G1 visi 4-i elementai yra 2-sąsūkos (0 + 0 = 0, a + a = 0, b + b = 0, c + c = 0 – nes įstrižainėje vien nuliai). G2 –grupėje tik 0 ir y turi 2-sąsūkas. Skirtingų sąsūkų kiekis tiksliai atspindi grupės struktūrą.

Kas vis tik yra tie klasių numeriai?

Kartais sveikų skaičių (1, 2, 3, …) nepakanka sprendžiant sudėtingas problemas.

Matematikai gali skaičių sistemą praplėsti naujomis reikšmėmis, pvz., kvadratines ar kubines šaknis. Išplėsta sistema vadinamaskaičių žiedu. Tačiau taip galima pakliūti į kilpas, pvz., skaičių žiedas gali netekti pirminių skaičių faktorizacijos.

Idealūs skaičiai yra įvestos aibių teorijos konstrukcijos, kurias galima sujungtos su išplėsta skaičių sistema atstatant pirminių skaičių faktorizaciją.

Idealų, reikalingų pirminių skaičių faktorizacijai atstatyti, klasių kiekis yra sistemos klasės numeris.

Idealų klasės sudaro matematinį objektą vadinamą skaičių sistemos klasės grupe. Egzistuoja skirtingos grupių sistemos, kurių duotos idealų klasės kiekis gali tikėtis. Težinant tik klasės numerį negalima pasakyti, kaip sudaryta klasės grupė.

Paskaičiuojant simetrijas klasių grupėse matematikai gali tiksliai spėti apie tai, kaip dažnai gali pasitaikyti skirtingos struktūros ir kaip dažnai gali būti sutinkami skirtingi klasių numeriai.

Cohen-Lenstra heuristikoje dirbama nustatant kiek elementų grupėje turi skirtingas sąsūkas. Gana lengva formuluoti Cohen-Lenstra teiginius sąsūkų atžvilgiu. Pvz., jei prijungiame neigiamų skaičių šaknis, kiek idealų jų klasės grupėje turi . Pvz., jei prijungiame neigiamų skaičių šaknis, kiek idealų jų klasės grupėje turi 3-sąsūką? Cohen-Lenstra teigia, kad turėtų būti vidutiniškai du 3-sąsūkos elementai skaičių žiede. O kiek 5-sąsūkos? 7-sąsūkos? 11-os sąsūkos? Atsakymas vėl: pirminiams skaičiams - du.

Tas pastovumas atrodo keistai, nes intuicija šnibžda, kad pasirinko sąsūkos elementų kiekis turėtų didėti plečiantis klasės grupei. Ir vis tik Cohen-Lenstra heuristika spėja, kad jis išlieka pastovus – ir nepriklauso nuo pirminio skaičiaus. Tik štai tai įrodyti yra beprotiškai sunku.

Nuleidžiant kartelę

Cohen-Lenstra heuristika, 1987 m. išplėsta Cohen ir Jacques Martinet'as⁵⁾, pasaulyje jau per 40 m. Tačiau nuo tada teįrodyti tik du dalykai: vienas Harold Davenport‘o⁶⁾ ir Hans Heilbronn‘o⁷⁾ (1971); kitas Bhargavos (2005).

Dėl sunkumų, matematika išsikelia paprastesnius tikslus. Jie pradžiai pasitenkintų vidutinio n-sąsūkos elementų skaičius pirminiams skaičiams viršutinio įverčio nustatymu. Čia pastebimas nežymus progresas.

Prijungiant neigiamo skaičiaus kvadratinę šaknį, klasės numeris auga proporcingai šaknies dydžiu. Taip, prijungiant kvadratinę šaknį iš -13, galima tikėtis, kad klasės grupė bus daugiausia apie kvadratinės šaknies iš -13 dydžio. Kitas šaknies užrašymo būdas yra n^0.5. Ir jei žinom, kad klasės grupė turi ne daugiau n^0.5 elementų, tai, tarkim, ir 3-sąsūkų kiekvienam elementui bus ne daugiau n^0.5. Tai ir yra pirmasis trivialus įvertis.

Matematikai turi kelis metodus įverčio patikslinimui. Vienas jų – „sietas“, kai elementai išsijojami tarsi plaunant auksą. Kiti du metodai susiję su sudėtingomis transformacijomis, kai elementai su n-sąsūkomis gali būti paskaičiuoti kaip gardelės mazgai srityje arba ant kreivės.

Pirmuoju „pralaužti“ įvertį ėmėsi Lillian Pierce⁸⁾ iš Duke un-to, 2006 m. įrodžiusi, kad tam tikro skaičiaus žiede n-sąsūkų kiekis yra ne daugiau n^0.49. Na, visai nežymus pagerinimas, tačiau juo pasekė kiti. A. Venkatesh'as⁹⁾ ir Harald Helfgott'as¹⁰⁾ iš Giotingeno pasiekė n^0.44 ribą, o kitais metais A. Venkatesh'as ir Jordan Ellenberg'as¹¹⁾ iš Wisconsin-Madison un-to numetė jau žymiai – iki n^0.33. Vis dar ne kas, bet pajudėjimas jau yra.

Naujausią rezultatą pasiekė Bhargava su 5-iais bendraautoriais (A. Shankar, T. Taniguchi, F. Thorne, J. Tsimerman, Y. Zhao). 2017 m. sausį įvertį 2-sąsūkai kubiniuose ir ketvirto laipsnio numerio žieduose įvertį sumažino iki n^0.28 kartu užsimenant, kad gali 2-sąsūkos įvertį sumažinti bet kuriam laipsniui.

Net tie nežymūs pagerinimai jau duoda dividendus. Elipsinėms kreivėms Bhargavos grupės panaudoti metodai pasirodė vaisingi, kas rodo, kad klasių numeriai gali būti sprendžiami skirtingų matematinių sričių sankirtoje. Ir gali būti, kad progresas klasių numerių srityje padės pasiekti pirminį numerių žiedų tikslą. Gali būti, kad, supratus klasių grupių elgesį, bus galima panaudoti Ferma Didžiosios teoremos bei daugelių kitų lygčių įrodymuose.

Trumpos biografijos ir paaiškinimai

¹⁾ Gabrielis Lamė (Gabriel Lamé, 1795-1870) – prancūzų matematikas, mechanikas, fizikas, inžinierius. Pagrindiniai jo darbai iš matematinės fizikos ir tamprumo teorijos. 1820-1831 m. dirbo Rusijoje: dėstė, projektavo tiltus, dirbo mokslinį darbą. Nuo 1845 m. buvo egzaminatoriu Politechnikume. Aktyviai dalyvavo geležinkeių tiesime iš Paryžiaus į Versalį ir San-Žermeną. Žinomas kreivinių koordinačių teorija ir į elipses panašių kreivių (dabar vadinamų Lamė kreivėmis arba superelipsėmis) tyrinėjimu. Įrodė atskirą Ferma teoremos atvejį.

²⁾ Idealus skaičius - algebrinis sveikasis skaičius, esantis idealu skaičių lauko sveikų skaičių žiede. Šią idėją 1847 m. įtraukė E. Kumeris ir ji pasitarnavo pradiniu tašku žiedų idealų apibrėžimui, vėliau įvestu Dedekindo. Iuo metu šis terminas nenaudojamas ir yra pakeistas idealo sąvoka.

³⁾ Henris Kohenas (Henri Cohen, g. 1947 m.) – prancūzų matematikas, skaičių teorijos žinovas, dtrbantis Bordo un-te. Yra parašęs vadovėlių apie algoritmų teoriją ir algebrinių skaičių teoriją. Vadovavo komandai kuriančiai PARI/GP kompiuterinės algebros sistemą.

⁴⁾ Hendrikas Lenstra (Hendrik Willem Lenstra Jr., g. 1949 m.) – Nyderlandų matematikas, dirbantis skaičių teorijos srityje. Labiausiai žinomas elipsinių kreivių faktorizacijos metodo atradimu (1987) ir yra vienas iš LLL algoritmo pagrindėjų. 1992 m. suskaičiavo visus apverstos Ferma lygties sprendinius.

⁵⁾ Žakas Martinė (Jacques Martinet, g. 1939 m.) – prancūzų matematikas, dirbantis skaičių teorijos srityje; Bordo un-to profesorius (nuo 1971 m.). Dirba su Euklido tinklais, algebrinėje skaičių teorijoje, algoritminėje skaičių teorijoje.

⁶⁾ Haroldas Davenportas (Haroldas Davenportas, 1907-1969) – anglų matematikas, intensyviai dirbęs skaičių teorijos srityje, ypač analitinę diofantinių lygčių teoriją bei algebrinę skaičių teoriją. Buvo užkietojus rūkalius, kelis kartus nesėkmingai bandė mesti rūkyti – ir galiausiai mirė nuo plaučių vėžio.

⁷⁾ Hansas Heilbronas (Hans Arnold Heilbronn, 1908-1975) – žydų kilmės vokiečių matematikas, 1933 m. pasitraukęs į Angliją. 1964 m. persikėlė į JAV.

⁸⁾ Liliana Pirs (Lillian Beatrix Pierce) – amerikiečių matematikė, kurios darbai skaičių teoriją jungia su harmonine analize. Ji buvo viena pirmųjų matematikų, įrodžiusių ne trivialią idealų klasės grupės sąsūkos elementų viršutinę ribą. Ji yra Duke un-to Durhame (Šiaurės Karolinoje) profesorė. Nuo 4 m. amžiaus groja smuiku.

⁹⁾ Akšajus Venkatešas (Akshay Venkatesh, 1981) – indų kilmės australų matematikas, skaičių teorijos, adityvinės kombinatorikos, ergodinės teorijos, uždavinių apie tolydų pasiskirstymą automorfinėse formose specialistas, gavęs Fieldso medalį (2018) už kelių matematikos sričių sintezę.

¹⁰⁾ Haraldas Helfgotas (Harald Andrés Helfgott, g. 1977 m.) – Peru matematikas, nuo 2010 m. dirba tyrinėtoju CNRSa centre Paryžiuje. Pagrindinė darbo sritus yra skaičių teorija ir susiję sritys. 2013 m. išsprendė Holbacho silpnąjį (trinarį) teiginį (bet kuri snelyginis skaičius didesnis už 5 gali būti išreikštas 3-jų pirminių skaičių suma, kai pirminis skaičius sumoje gali pasikartoti kelis kartus, pvz., 17=2+2+13).

¹¹⁾ Džordanas Elenbergas (Jordan Stuart Ellenberg, g. 1971 m.) – amerikiečių matematikas, Viskonsino- Madisono un-to profesorius, taip pat rašytojas, kuriantis ir mokslinę fantastiką. Pasižymėjo įvairiais gabumais jau ankstyvoje vaikystėje. Pirmoji jo knyga „Žiogų karalius“ (2003); taip pat parašė „Kaip niekada neklysti: matematinio mąstymo galia“ (2014).

Taip pat skaitykite:
Pirminiai skaičiai
Pi keliai ir klystkeliai
Begalybė (pristatymas)
Scenoje - paprastos grupės
Kelionė į matavimų apibrėžimą
Matematikos pradžia Lietuvoje
Nauja pirminių skaičių klasė
Trijų kūnų uždavinys aštuoniukėje
Mokslininkui nereikia matematikos!
Matematikos filosofinės problemos
Kombinatorika, polinomai, tikimybės
Iš Antikos ateinantis klausimas: kiek jų?
Endre Szemeredi darbų esmė „ant pirštų“
Kai kurie pasiekimai 2020 m. matematikoje: išmazgymas
Klasikinės „neišsprendžiamos“ geometrinės konstrukcijos
M. Gardneris. Nė vienos pusės neturėjęs profesorius
Ultimatyvi logika: iki begalybės ir toliau
Iš Antikos ateinantis klausimas: kiek jų?
Kombinatorika, polinomai, tikimybės
Kirmgrauža tarp matematikos sričių
Nėra paprastos visuotinės teorijos!
Pitagoro skaičiai per Fibonačio seką
Pagrindinės algebrinės struktūros
Proveržis skaičiuojant skaidinius
Nepaprasti Visatos skaičiai:  8
Parabolės lenktas likimas
Matematiniai anekdotai
Matematika ir muzika
Matematikos keliu
Meilės sinusoidė
Vartiklis