Lietaus uždavinys ir matematinis mąstymas

„Matematika nėra menas duodantis teisingus atsakymus; ji yra menas, leidžiantis suprasti, kodėl atsakymai yra teisingi“,
Ali Nesin*)

Lietus – nuostabus reiškinys. Po lietaus vaikai gali išbėgti į lauką ir plukdyti balose popierinius laivelius (bent anksčiau galėjo, dabar planšetė pernelyg dažnai pakeičia lauko džiaugsmus). O ir sušlapti per lietų – anokia čia problema! Ir čia nugali smalsumas – kada labiau sušlampi: ar kai vaikštai per lietų ar kai bėgioji?

Kažin ar daug kas tuo susirūpina?! Užkluptas lietaus neretai tiesiog stengiasi greičiau kur nors nubėgti, kur galėtų nuo jo pasislėpti!? Bet ar tikrai greičiau bėgdamas mažiau sušlapsi? O čia jau reikia atsigręžti į matematiką!? Tik gaila, kad uždavinys beveik neįmanomas, kad duotų tikslų sprendinį... Jame per daug parametrų, pvz., kiek ilgai žmogus bus lietuje, irgi svarbu.

2012 m. „Mitų griovėjai“ atliko eksperimentą – jie vienodą laiką praleido bėgdami ir eidami „lietuje“, o tada pasvėrė jų dėvėtus medvilninius drabužius. Ir paaiškėjo, kad drabužiai dėvėti bėgat yra sunkesni, - tad ir žmogus bėgdamas per lietų labiau sušlampa. Tačiau vėliau tie patys žmonės pakartojo eksperimentą ir gavo visiškai priešingą rezultatą. Kodėl taip nutiko!?

Pasikeitė sąlygos!? Lietaus lašai būna skirtingo dydžio... Jie krenta skirtingu kampu... Vėjao greitis skiriasi... O jei lietaus lašų kritimo kampas nuolat kinta? Testuotojai juda skirtingu greičiu... Ir t.t. Ir jei visų sąlygų duomenys nėra žinomi, atsakymo neturėsime...

Kita situacija: pradėjo lyti ir iki pastogės yra 100 m. Geriau iki jos bėgti ar eiti? Čia irgi veikia keletas parametrų... Viena aišku, kad jei lyja statmenai iš viršaus ir jei einama gerokai lėčiau nei bėgama, einant sušlapsite gerokai labiau (vien jau dėl to, kad lietuje būsite ilgiau). Ne taip akivaizdu, jei lietaus lašai krenta įžambiai. Tačiau jei bėgate gana greitai, tada beveik garantuotai sušlapsite mažiau (ir jei vėjas pučia į nugarą, mažiausiai sušlapsite bėgdami vėjo greičiu!).

Kita vertus, matematika yra mąstymo būdas – skirtingai nei sužinome mokykloje pagal siaubingą mokymo programą, kad ji, atseit, yra tik formulės ir lygtys. Matematika kiaurai permerkusi mūsų gyvenimus. Ir matematiniai terminai visiškai aiškūs. Argi ką nors slepia „status kampas“ nei kad jis yra status? Argi „tikimybė“ nereiškia tikimybės kam nors nutikti?

Matematinė iliustracija Lietaus modelis

Panagrinėkime labai supaprastintą variantą. Tarkime, žmogus yra stačiakampio formos kempinė, judanti greičiu V. Lietaus lašai krenta statmenai žemyn greičiu u. „Žmogaus“ viršaus plotas yra AT, o jo priekio plotas AF. Lašų kiekis per laiko vienetą yra n.

Tada lietaus lašų kiekis, sugertas per viršų, nepriklausys nuo „žmogaus“ judėjimo ir bus RT = nuAT
Tuo tarpu lietaus lašų kiekis sugertas per priekį bus RF = nVAF

Taigi, bendrai imant, kuo didesnis „žmogaus“ greitis, tuo labiau jis sušlaps per laiko vienetą. Negi einant lėčiau sušlapsime mažiau? Taip, jei eitume ir bėgtume tą patį laiko kiekį. Tačiau jei reikia pasiekti pastogę, reikalai keičiasi.

Tarkim, atstumas iki pastogės yra d. Tada ją pasieksime per t=d/V, o bendras lietaus lašų kiekis bus
N=(RT+RF)(d/V) arba N=nuATd/V+nAFd

Iš čia matome įdomų dalyką:
a) lietaus lašų kiekis į priekį iki pastogės nepriklauso nuo judėjimo greičio!;
b) lietaus lašų kiekis iš viršaus atvirkščiai proporcingas judėjimo greičiui.

Taigi bendra išvada, kuo greičiau judėsite link pastogės, tuo mažiau sušlapsite! Grafikas rodo gautų lašų kiekį priklausomai nuo judėjimo greičio (jis paskaičiuotas reikšmėms u=9 m/s, n=100 lašų/m3, d=100 m, AT = 0,005 m2, AF = 0,02 m2):
Lietaus grafikas


*) Huseinas Ali Nesinas (Huseyin Ali Nesin, g. 1956 m.) – turkų matematikas ir dailininkas. Daktaro laipsnį ir kurį laiką dirbo JAV, o po tėvo mirties 1995 m. grįžo į Turkiją, kur tapo Nesino fondo direktoriumi. Nuo 1996 m. Stambulo Bilgi un-to matematikos fakulteto vadovas. Jo darbų sritys yra algebra, logika ir (ypač) „baigtinio Morey rango grupės“. Parašė populiarių knygų apie matematiką: „Matematika ir baimė“, „Matematika ir begalybė“, „Kupranugariai ir asilai“, „Intuityvi aibių teorija“ ir kt., o taip pat profesionalių straipsnių angliškuose žurnaluose. 2003 m. pradėjo leisti pusiau profesionalų žurnalą „Matematik Dunyasi“ (Matematikos pasaulis) ir yra jo vyr. redaktoriumi. Be to tapo, taipogi ir portretus. Yra vienu iš Turkijos žmogaus teisių fondo (1999), o taip pat Nesino matematikos kaimo (2007) steigėjų. 2018 m. rugpjūtį ICM apdovanotas Leelavati premija už matematikos sklaidą Turkijoje.

Taip pat skaitykite:
Grandi paradoksas
Matematikos keliu
Ar viskas čia taip?
Pi keliai ir klystkeliai
Sutramdytas lagaminas
Vištų matematiniai pokalbiai
Skaičiai – apžvalga/ pradmenys
Kombinatorika, polinomai, tikimybės
Ar nepabandysite išpręsti uždavinį?
Kodėl matematikoje nežinomąjį žymi „x“?
Dž. Birkhofas: matematikas ir meno matuotojas
Klasikiniai „neišsprendžiam“ geometrijos uždaviniai
Žodžių anagramos, skaičiai, paprikos ir kt.
Moksleivis „perkando“ I. Niutono uždavinį
Fundamentaliosios matematikos teoremos
Simpsonų trauka ir žaidimas skaičiais
Pitagoro skaičiai per Fibonačio seką
Pagaliau: 33 per tris kubus
Nepaprasti Visatos skaičiai
Paviliota senovinio žaidimo
2018 metai matematikoje
Didžioji Ferma teorema
Matematiniai anekdotai
Meilės sinusoidė
Abelio premija