Kombinatorika, polinomai, tikimybės  
Žodžių anagramos, skaičiai, paprikos ir visa kita  

Pabandysime parodyti, kad tas pačias kombinatorikos formules galima panaudoti įvairiose matematikos srityse.

Faktorialai

Gerai žinoma formulė pirmųjų n skaičių sumai paskaičiuoti (ją išveda ir K. Gausas filme „Kaip išmatuoti pasaulį?“, 2012):
1+2+3+4+…+n=n(n+1)/2     (1)

Tačiau pirmųjų n skaičių sandauga negali būti išreikšta panašia formule, tačiau ji, ypač dažnai sutinkama kombinatorikoje ir kitur, turi specialų žymenį n! (n faktorialas). Šauktuko pasirinkimą jam greičiausiai nulėmė šio skaičiaus didumas, faktorialai gana dideli netgi nedideliems n:
1! = 1; 2! = 2; … 10! = 3.628.800 ir t.t.

Išbandykite šias paprastas užduotis patys:
1. Paskaičiuokite 11! Ir 12!
2. Ar gali n! baigtis tiksliai vien 5-iais nuliais?
3. Kokiam mažiausiam n n! baigiasi 6-iais nuliais?
4. Įrodykite formulę: (n+1)! – n! = n*n!
5. Paskaičiuokite sumą: 1*1! + 2*2! + 3*3! + .... + n*n! (patarimas: pasinaudokite ankstesne u=duotimi)
6. Suraskite 4-is trejetus (x, y, z) tokius, kad x!*y!=z! (patarimas: į formulę (2) įstatykite n=k!-1)

Faktorialas apibrėžiamas per iteracinę formulę (jos bendrumo tikslais laikome, kad 0!=1):
n!=n(n-1)!     (2)

Permutacijos

Faktorialai natūraliai pasirodo įvairių objektų perstatymų paskaičiavimuose. Paimkim raides L,O,V,A ir pažiūrėkime, keliais būdais galima jas sudėlioti. Paaiškėja, kad 4!=4*3*2*1=24. Mat bet kurią iš 4-ių raidžių galime imti pirmąja, tada antrąja - bet kurią iš likusių 3-ų ir t.t.
To paties žodžio raidžių perstatos yra vadinamos anagramomis.

Tačiau neretai būtina iš visų perstatų išrinkti tik kai kurias, pasižyminčias tam tikra savybe. Pvz., tik 6-iose LOVA perstatose balsės nėra greta (LOVA, VOLA, OLVA, OVLA, ALVO, AVLO).Tokio tipo užduotys dažnai kyla gamyboje ir ekonomikoje, kai ieškomi optimaliausi variantai (pvz., tarp galimų audinio sukarpymų, kad liktų mažiausiai atliekų).

Kai kuriuose žodžiuose ta pati raidė gali įeiti daugiau nei vieną kartą. Tada jo anagramų kiekis išreiškiamas faktorialų santykiu. Pvz., žodis SAKALAS anagramų turi 6! / (3! * 2! * 1) = 60. Mat raidė A panaudota 3, S - 2, o K - 1 kartą.

Raidžių permutacija neišvengiamai atsiranda kai sidauginami du arba daugiau polinomų. Pvz., gerai žinoma dviejų skaičių sumos pakėlimo kvadratu formulė:

Vėl išbandykite šias paprastas užduotis patys:
1. Kiek skirtingų anagramų turi žodis LAUKAS. Tarp jų raskite žodį, reiškiantį žmogaus kūno dalį.
2. Keliais būdais galima išdėstyti 8-is bokštus tuščioje šachmatų lentoje, kad nė vienas jų nekirstų kito?
3. Motina turi 3 obuolius, 2 kriaušes ir 2 apelsinus. Keliais skirtingais būdais ji gali dukrai duoti po vieną vaisių į dieną?

(a+b)2=a2+2ab+b2
(čia dar siūlome paskaityti apie kitokį šio veiksmo interpretavimą). O panašios išraiškos gaunamos keliant kvadratu 3 ir daugiau sumos narių (pabandykite jas išvesti patys). O jei kelsime aukštesniais laipsniais? Tada nustatyti koeficientą mišriai sandaugai galima paskaičiuojant faktorialų santykį – visai, kaip anagramoms su pasikartojančiomis raidėmis. Tarkim, (a+b+c+d+e)4 nario a2c2 koeficientas bus 4!/(2!*2!)=6.

Bendroji formulė r narių sumos nario a1n1a2n2… annr koeficientui yra
n! / (n1! * n2! * ... *nr!)

Gali kilti ir toks klausimas: kiek yra narių, turinčių tą patį koeficientą? Tai irgi išsprendžiama prisimenant anagramų skaičiavimą – pabandykite patys išvesti formulę!

Kaip skaičiuojamos tikimybės?

Visi girdėjome, kad tikimybė, kad metant monetą iškris skaičius (arba herbas) yra 1/2. Tačiau „iš praktikos” daugelis tebetiki, kad tikimybė, kad sumuštinis nukris sviestu žemyn yra gerokai didesnė (nors matematiškai ji yra toji pat 1/2).

Bendrai imant, tikimybė yra reikšmė tarp 0 ir 1, kuri apibrėžia tam tikro nutikimo šansą. Visų galimų nutikimų tikimybių suma yra lygi 1 (t.y., metant monetą, būtinai iškris skaičius arba herbas).

Iliustracijai įsivaizduokite turgų, kur yra didelė krūva paprikų. Jums sako, kad joje 1/3 paprikų yra raudonos, 1/2 - geltonos, o 1/6 – žalios. Jei visai atsitiktinai paimsime vieną papriką iš krūvos, jos spalvos tikimybė ir bus tokia kaip nurodyta. Jei paprikų labai daug, tai galima laikyti, kad antros paprikos spalvos ištraukimo tikimybės yra tokios pat. Tada tikimybė, kad ištraukta pora bus raudona (ištraukus pirmąją) ir žalia (ištraukus antrąja) yra tikimybių sandauga, t.y. 1/3*1/6=1/18. Jei paskaičiuosime visų galimų kombinacijų tikimybes ir jas sudėsime – gausime 1. Jei mums nesvarbu traukimo tvarka, tai raudonos ir žalios paprika poros tikimybė bus tikimybių ir žr suma, t.y. 1/9. Paprikos

O dabar atkreipsime dėmesį, kad šis paskaičiavimas gali būti paimmtas kaip dalis tokios operacijos: pakelti (r+g+ž) kvadratu, surinkti norimus narius (mūsų atveju ir žr, kurie kartu duoda 2*rž), o tada įstatyti atitinkamas tikimybių reikšmes. Tai leidžia greitai paskaičiuoti tikimybes didesnių pasirinkimų, pvz., jei perkam 5 pipirus, tai tikimybė, kad 3 bus raudoni, 1 geltonas ir 1 žalias, paskaičiuojama kaip (5! / (3!*1!*1!) )* (1/33*1/2*1/6)=5/81
Įdomu, kad atvejų, kad gausim: a) 3 raudonas, 2 geltonas ir 2 žalias paprika; b) 2 raudonas, 2 geltonas ir 1 žalią, tikimybė yra tokia pati, t.y. 5/36 – patikrinkite tai patys.

Binominiai koeficientai

Prabėgomis mes paminėjome paprasčiausią (ir, galbūt, svarbiausią) dviejų raidžių atvejį. (a=b)n narių koeficientai, dėl jų svarbos, turi specialius žymenis, pvz., C(n,r), Binomial coeficient arba Binomial coeficient, kurie vadinami binominiais koeficientais. Naudojant šiuos žymenis, formulę (vadinamą binomine teorema) galime užrašyti taip:
(a=b)n=C(n,0)an+C(n,1)an-1b+...+C(n,n)bn
Binominio koeficiento reikšmė paskaičiuojama taip:
C(n,r)=n!/((n-r)!*r!)

Binominiai koeficientai sutinkami įvairiose matematikos srityse – kombinatorikoje, algebroje, geometrijoje, skaičiavimo metoduose ir tikimybių teorijoje. Tarp jų yra daugybė įdomių sąryšių, pvz., C(n+1,r)=C(n,r)+C(n,r-1). Iš čia, kai r < n, susumuojam
C(r,r)+C(r+1,r)+…+C(n+1,r)=C(n+1,r+1), kad atveju, kai r=1, mums duoda (1) formulę, kuria pradėjome straipsnelį.

Taip pat skaitykite:
Fraktalai
Matematikos keliu
Kvadratinė lygtis
Begalybė (pristatymas)
Parabolės lenktas likimas
Matematikos pradžia Lietuvoje
>Geriausios alternatyvos parinkimas
Ultimatyvi logika: iki begalybės ir toliau
Laimėti pralaimint: „dviejų vokų“ paradoksas
Klasikinės „neišsprendžiamos“ geometrinės konstrukcijos
Džordžas Birkhofas - matematikas ir meno matuotojas
Ar nepabandysite išpręsti uždavinį?
Statistikos sąvokų pristatymas
Revoliucija mazgų teorijoje
Monte-Karlo metodas
Ar viskas čia taip?
Pirminiai skaičiai
Meilės sinusoidė
Dalyba iš nulio