2018 metai matematikoje    

Kuo toliau, tuo labiau norisi skaičiuoti viščiukus. Ypač metų pabaigoje... Prieš tai jau peržvelgiau už ką buvo skirtos 2018 m. Nobelio fizikos premijos (skaitykite Manipuliacijos šviesa), o dabar žvilgsnį nukreipiau į matematiką (kartu šiek tiek ir kompiuteriją paliesdamas) – žinia, juk matematiką Nobelis „pamynė“ neskirdamas premijos dėl „meilės trikampio reikalų“ (apie tai žr. >>>>>).

Šiemet vyravo jaunimas. Vienas iš keturių Fieldso medalio, skiriamo matematikams iki 40 m. amžiaus, laureatų buvo 30-metis Peter Scholze1), tapęs jauniausiu jį gavusiu (priešingai nuo A. Aškino, kuris buvo seniausias). Tačiau 2018-ais net ir 30-metis galėjo atrodyti labai senas...

Du studentai, kurių vienam tebuvo 18-a, dviem atskirais atradimais perstumdė ribas, kvantinius kompiuterius skiriančias nuo įprastinių skaičiavimų. O kitas įrodė dešimtmečius ramybės neduodantį teiginį apie elipsines kreives. O ir visų amžių grupių matematikos mėgėjų indėlis buvo svarus ilgai neišsprendžiamų problemų srityje.

Tačiau ko gero reikšmingiausiu jaunimo iškilimo ženklu buvo tai, kad minėtas P. Scholze, nepraėjus nė mėnesiui po Fieldso medalio gavimo, kartu su bendradarbiu padarė viešą pareiškimą, nurodydamas spragą garsiojo ABC teiginio įrodyme, kuris jau 6-i metai niekaip nepatikrinamas.

Viltys dėl kvantinių skaičiavimų palaidotos?

2018 m. bus pažymimi tuo, kad pagaliau pademonstruota, kad kvantiniai kompiuteriai nėra pranašesni už tradicinius. Iki tol tai dar buvo neaišku - tai paaiškėjo, kai liepą 18-metis Ewin Tang‘as išeliminavo, kaip atrodytų, aiškiausią ir geriausią uždavinį, atseit parodantį kvantinių kompiuterių pranašumą... (žr. >>>>>)

Tai „rekomendacijos uždavinys“, kurio praktinio panaudojimo išraiška, pvz., būtų, kaip „Amazon“ nustato, ką dar jums būtų verta pasiūlyti įsigijimui. Tradiciškai laikyta, kad kvantiniai kompiuteriai jį turėtų spręsti žymiai (eksponentiškai) sparčiau.

Dar 2014 m., būdamas 14 m. amžiaus ir praleidęs 6-ias klases, Tang‘as tapo Austin‘o un-to studentu ir 2017 m. ėmė lankyti S. Aaronson‘o kvantinės informatikos kursą. Pamatęs gabų studentą, Aaronson‘as pasisiūlė jam vadovauti. Tang‘as pasirinko „rekomendacijos uždavinį“. 2016 m. I. Kerenidis and A. Prakash‘as buvo paskelbę (žr. >>>>>) jo sprendimo kvantinį algoritmą, ... tik jie neparodė, kad negali egzistuoti spartesnis klasikinis algoritmas. Ir pradžioje E. Tang‘as bandė įrodyti, kad toks greitesnis klasikinis algoritmas yra neįmanomas. Kai tai jam nesisekė, jis pradėjo manyti, kad vis tik jis įmanomas. Ir jam pavyko sukurti algoritmą, įvykdomą per polilogaritminį laiką (t.y., kaip ir kvantinis algoritmas). Jį pristatė birželio viduryje Kalifornijos un-to kvantinių skaičiavimų workshop‘e.

Šis rezultatas netgi leido kai kuriems mokslininkams teorizuoti, kad kvantiniai kompiuteriai niekada nebus pranašesni už tradicinius.

Susirungė matematikos titanai

Matematinis įrodymas yra arba teisingas, arba jį dar reikia patobulinti. Tai teoriškai, o praktikoje įrodymai gali atrodyti labai logiški, tačiau matematikai irgi žmonės. Tai ypač išryškėjo prieštaravimuose, susijusiuose su ABC teiginiu, vienu pagrindinių skaičių teorijoje. Jo įrodymą dar 2012 m. paskelbė japonas Š. Mochizuki, tačiau nuo tada tik keli matematikai įstengė prasekti milžiniško dydžio sunkiai suprantamą įrodymą. Ir gegužę P. Scholze ir J. Stix‘as iš Gėtės un-to Frankfurte pareiškė, kad jie atrado „rimtą, nepašalinamą“ spragą jo įrodyme. Tačiau Mochizuki tebetvirtina, kad įrodymas teisingas, tik jie nesuprato jo teorijos.
Daugiau apie šį teiginį >>>>>

Mašininis apsimokymas atsitrenkė į dramblį

Dirbtinis intelektas (DI), sustiprintas mašininiu apsimokymu, 2018-ais tebebuvo „ant bangos“. Tačiau kartu tyrinėtojai perstumdė ribas, ties kuriomis užstringa net ir išmaniausios DI sistemos. Viena jų grupė aptiko (žr. >>>>>), kad patikima vaizdų atpažinimo programa keistai suklumpa nepastebėdama dramblio kambaryje (nors tai nesudaro jokio vargo vaikui). Programai jie pasiūlė įprastinio kambario vaizdą – ir ji teisingai atpažino daiktus: kėdę, žmogų, knygas lentynoje... Tada tyrinėtojai kambario vaizdą papildė neįprastu objektu – nedidelio dramblio atvaizdu. Ir programos atpažinimas staiga nusimušė: ji kėdę pradėjo vadinti sofa, o dramblį – kėde, ir nustojo pastebėti kitus daiktus, kuriuos anksčiau atpažino kambaryje. Jie keitė dramblio vietą vaizde, ir programa vis tiek tebekvailiojo. Tyrinėtojai atliko daugiau bandymų, ir nustatė, kad programa pasimeta ir tada, kai padubliuojamas jau esantis vaizde daiktas, pvz., šuo, televizorius...
Taigi, nors DI gali išmokti puikiai žaisti go ir šachmatais, kyla abejonė, ar DI įstengs susitvarkyti sudėtingose, realaus gyvenimo situacijose (pvz., panaudojant jį karo reikmėms ar bepiločiuose automobiliuose). Urmila Mahadev

Krito ir kvantinės verifikacijos problema

2017 m. spalį 28 m. amžiaus indų kilmės Urmila Mahadev pateikė svarbaus kvantinės informacijos teorijos klausimo (kvantinio verifikavimo) sprendimą (žr. >>>>>). Ji studentaudama Berklio Kalifornijos un-te 8 m. praleido tirdama, kaip kvantiniai kompiuteriai panaudoja „kvantiškumą“ uždavinių sprendimui. Ji sugebėjo rasti kvantinių skaičiavimų pritaikymą kriptografijoje „visiškai nauju būdu“. Jų „slaptos būsenos“ (kurios žinomos verifikatoriui, tačiau nežinomos kvantiniam kompiuteriui) procedūra remiasi „spąstų“ funkcija (kurią lengva realizuoti, tačiau sunku gauti atvirkštinę funkciją; pvz., gauti skaičių, kuris kurio kvadratas yra 9 - tai gali būti ir 3, ir -3).

Dominantis klausimas toks: jei nurodote kvantiniam kompiuteriui spręsti kokį nors uždavinį, kaip galite patikrinti, ar jis tikrai vykdo jūsų nurodymus, ar tik kažką savaip „kvantiškai“ veikia? Juk jei kvantiniai kompiuteriai gali išpręsti tokius uždavinius, kurie neįveikiami klasikiniams kompiuteriams, kaip sužinoti, ar jie veikia teisingai? Juk vidinės kompiuterio būsenos yra daugybės skirtingų nekvantinių būsenų (panašių į „Šriodingerio katiną“, kuris tuo pačiu metu ir gyvas, ir negyvas) pasekmė. Antrais studijų metais (2012) Mahadev įsitraukė į šią problemą, nes ji jos gerai nesuprato – ir po 7 m. užsispyrimo pasiekė rezultatų ir juos 2018 m. pristatė konferencijoje Paryžiuje, gaudama „geriausio darbo“ įvertinimą. Jos verifikacijos protokolas rėmėsi prielaida, kad kvantinis kompiuteris negali pralaužti LWE, kuris, kaip manoma, įsigalios post-kvantinėje kriptografijoje.

Begalinės kreivės yra dviejų tipų

Elipsinės kreivės yra svarbūs matematiniai objektai, pasižymėję tokiuose įrodymuose, kaip Ferma teorema. 2017 m. atspausdintas nelabai pastebėtas Harvardo un-to studento Alexander Smith‘o straipsnis (žr. >>>>>), įrodantis 40 m. senumo teiginį, kad lygiai pusė elipsinių kreivių turi vadinamąjį „rangą“ lygų 0, o kita pusė - 1 (nepaisant to, kad yra begalinis elipsinių kreivių su rangu 2 ir didesniu). {Rangas yra kreivės racionalių sprendinių aibės matas. Nors kreivių su rangu >=2 yra begalinis kiekis, tačiau iš tikro jų santykis su turinčiomis rangus 0 ir 1 yra toks mažas, kad tokias galima ignoruoti}.

Mėgėjas rado mažiausią padengimą

Matematikos mėgėjams 2018 m. irgi buvo vaisingi.

Australų fantastas Greg Egan‘as padarė proveržį su perstatomis susijusiame uždavinį, neišsprendžiamame jau 25 m.

2011 m. rugsėjo 16 d. fanatikas 4chan forume uždavė klausimą apie TV serialą „Haruhi Suzumiya melancholija“. Pirmojo sezono serijos, kuriose vyksta kelionės laike, buvo parodytos nechronologine tvarka, o vėliau pakartotos ir įrašytos į DVD kita tvarka. Fanatikai ginčijosi, kokia tvarka geriausia žiūrėti serijas - ir buvo paklausta: Jei norima peržiūrėti serijas kiekviena įmanoma tvarka, koks yra trumpiausias epizodų, kuriuos jiems būtina žiūrėti, skaičius. Jau per pirmą valandą anoniminis komentatorius pateikė apatinę įverčio ribą (93,884,313,611). Tačiau klausimas išsprūdo iš profesionalių matematikų akiračio. Vis tik spalį G. Egan‘ui pateikus naują viršutinės ribos įrodymą, jų susidomėjimas atsinaujino ir jie juos patikrino. Pasirodo, abu tiedu įrodymai priartino 25 m. senumo uždavinio sprendimą.

O biologas Aubrey de Grey, prieš senėjimą kovojančios organizacijos vienas įkūrėjų (jis tvirtina, kad žmonės gali gyventi iki 1000 m.), pastūmėjo į priekį uždavinį apie chromatinį plokštumos laipsnį, užsistovėjusį jau 60 m.

1950 m. studentas Edward Nelson‘as uždavė gana paprastai skambantį klausimą, kuris, vienok, matematikams kelis kitus dešimtmečius kėlė galvos skausmą. Paimkim grafą (taškus, sujungtus linijomis) plokštumoje, kurio visos briaunos vienodo ilgio. Tada nuspalvinkim jo viršūnes taip, kad jokios gretimos nebūtų tos pačios spalvos. Kiek mažiausiai spalvų pakanka tokio grafo nuspalvinimui?

Klausimas prikaustė daugelio matematikų, įskaitant garsųjį P. Erdošą, dėmesį. Jie greitai susiaurino atsakymų ribas, nustatę, kad begalinis grafas gali būti nuspalvingas ne mažiau nei 4 ir ne daugiau nei 7 spalvos. O toliau reikalai sustojo ir tos ribos nekito, kol balandį Aubrey de Grey paskelbė straipsnį (žr. >>>>>), kuriame nurodė, kad mažiausias chromatinis skaičius yra 5.

Į matematiką jis įsitraukė ... per Reversi (Othelo) žaidimą. Tarp žaidėjų buvo matematikų, kurie jį supažindino su grafų teorija. Uždavinio sprendimui jis panaudojo kompiuterį ir nustatė, kad grafo su 1581 viršūnėmis nuspalvinimu nepakanka 4 spalvų. Vėliau (jau kitų entuziastų) buvo surandami mažesni 5-ių spalvų reikalaujantys grafai. 2018 m. pabaigoje jau buvo turimas toks grafas su 553 viršūnėmis.

Ir galiausiai 2006 m. į pensiją išėjęs programuotojas Philip Gibbs‘as pagerino mažiausią šimtmetį ieškomą „visatos padengimą” – mažiausio ploto objektą, kuris gali uždengti bet kurią kitą dvimatę figūrą. Ph. Gibbs’aas buvo gavęs teorinės fizikos daktaro laipsnį, tačiau neužsiėmė akademine veikla, o programavo laivus, oro skrydžių valdymo ir finansines sistemas. Tačiau išliko susidomėjimas mokslu, tik laiką galėjo skirti kažkokiai nišinei problemai. Ir dar jis jautė, kad jam gali padėti programavimo įgūdžiai.

Šį uždavinį 1914 m. pasiūlė prancūzas Henri Lebesgue2) laiške savo draugui Julius Pal‘ui, tačiau progresas jį sprendžiant buvo labai lėtas iki pat Gibbs‘o proveržio.

Įsivaizduokite tuziną popieriaus karpinių ant grindų – įvairaus dydžio ir formų. Tada jus paprašo surasti figūrą, kuri būtų pakankama, kad galėtų uždengti bet kurią iškarpą. Ir toji privalo būti mažiausio ploto! Tokia Lebesgue uždavinio esmė, pridedant sąlygą, kad bet kurie du uždengiamos figūros taškai yra mažesniu už 1 atstumu. Tokių figūrų yra daugybė – ir sunku rasti vieną universalų uždangalą visoms joms. Kaip kelis pavyzdžius, pateiksime lygiakraštį trikampį, skritulį, taisyklingą penkiakampį ir Reuleaux trikampį.
Dvimatės figūros Patobulintas uždangalas

Gavęs laišką, Pal‘as greitai surado šešiakampį, tinkantį būti universaliu uždangalu. Tačiau vėliau jis jį padidino, pastebėjęs, kad gali, pasukęs 30o, nukirsti du gretimus apatinius kampus – ir turėti mažesnio ploto figūrą, galinčią uždengti minėtas figūras.

Ties tuo jis ir sustojo. Per kitus 80 m. dar du matematikai sugebėjo kai ką iš jos „nukirpti“: Roland Sprague (1936) ir H. C. Hansen‘as (1992). Susidomėjimą uždaviniu atgaivino Dž. Baez‘as, apie jį 2013 m. parašęs savo populiariame bloge. Tai perskaitęs, Ph. Gibbs‘as 2014 m. atliko kompiuterines simuliacijas su 200 atsitiktinai sugeneruotų formų. Jos parodė, kad iš ankstesnio mažiausio uždengimo galima nukirpti kažkiek nuo viršutinio kampo. Įrodymą jis nusiuntė Dž. Baez‘ui, kuris paprašė savo studentę Karine Bagdasaryan padėti Gibbs‘ui parengti labiau formalizuotą įrodymą. 2015 m. vasarį šis trejetas paskelbė straipsnį (žr. >>>>>), kuriame padengimo pagerinimas nuo ankstesnio buvo 0,0000224. Gibbs‘as nenurimo ir spalį pasiūlė dar vieną pagerinimą (žr. >>>>>). Jis tebemano, kad padengimą dar galima pagerinti. O Dž. Baez’as tikisi, kad Gibbs’o entuziazmas pritrauks ir kitų matematikų dėmesį.


1) Piteris Šolcas (Peter Scholze, g. 1987 m.) – vokiečių matematikas, žinomas indėliu į skaičių teoriją ir aritmetinę geometriją (pvz., p-adinę geometriją ir jos taikymus), Bonos un-to prof. (nuo 2012 m. – 24 m. amžiaus tapęs jauniausiu profesoriumi Vokietijoje), Fieldso medalio laureatas (2018). 2018 m. paskirtas M. Planko vardo matematikos instituto direktoriumi. Išgarsėjo 2011 m. straipsniu apie perfektoidines erdves.

2) Anri Lebegas (Henri Leon Lebesgue, 1875-1941) – prancūzų matematikas, vienas realaus kintamojo funkcijų teorijos kūrėjų. Žinomas kaip „Legebo mato” ir juo besiremiančio „Lebego integralo”, apibendrinančio integralo sąvoką platesniam funkcijų ratui, teorijų autorius (1901). Jie įgavo paltų pritaikymą įvairiose matematikos srityse. Taip pat įvedė sumuojamos funkcijos ir funkcijos “beveik visur” sąvokas. Prisidėjo ir prie kompleksinių skaičių teorijos ir topologijos vystymo.
1976 m. jo vardas suteiktas krateriui Mėnulyje.

Taip pat skaitykite:
Fieldso medalis
Begalybė (pristatymas)
Vištų matematiniai pokalbiai
Skaičiai – apžvalga/ pradmenys
Pitagoro skaičiai per Fibonačio seką
A. Whitehead.  Skaičiavimų prigimtis
Kirmgrauža  tarp matematikos sričių
2018 m. atradimai fizikoje ir astronomijoje
Iš Antikos ateinantis klausimas: kiek jų?
Kodėl matematikoje nežinomąjį žymi „x“?
Endre Szemeredi darbų esmė „ant pirštų“
Kombinatorika, polinomai, tikimybės (nauja)
E. Galua: matematikos genijus, revoliucionierius
Klasikinės „neišsprendžiamos“ geometrinės konstrukcijos
Žodžių anagramos,  skaičiai,  paprikos ir kt.
Fundamentaliosios matematikos teoremos
Kita skaičiavimo metodų istorijos pusė
Paradoksai sulig dirbtiniu intelektu
Mokslininkui nereikia matematikos!
Revoliucija mazgų teorijoje
Ar Internetas turi savimonę?
Atominio amžiaus vaikai
Kaip supakuoti standžiau?
Tūkstantmečio problemos
Pi keliai ir klystkeliai
Gyvenimo gėlelė
Matematikos keliu
Abelio premija