Klasikinės „neišsprendžiamos“ geometrinės konstrukcijos 

Pastaba: netrukus išplėsime kampo trisekcijos skiltį.

Tai klasikiniai graikų geometrijos uždaviniai, kuriuos reikia išspręsti tenaudojant nesužymėtą liniuotę ir skriestuvą.

Graikų dėmesys brėžimo uždaviniams, naudojant tik liniuotę ir skriestuvą, atitinka jų filosofinę nuostatą apie pasaulio įvairovės aiškinimą nurodant struktūrinius elementarius pagrindus.

Paskutinių dviejų (pagal šiame straipsnelyje pateikiamą tvarką) negalimumą 1837 m. įrodė P. Vancelis1) (Liouville Journal), nors apie tai apie 1800-uosius žinojo ir K. Gausas. Kampo trisekcijos neišsprendžiamumą 1882 m. įrodė Lindemann‘as2).

Įrodymai remiasi faktu, kad skaičiai, gauti naudojant tik nežymėtą liniuotę ir skriestuvą, išvedami iš duotų pradinių skaičių tik aritmetinių veiksmų (sudėties, atimties, daugybos ir dalybos) ir kvadratinės šaknies būdu. Tai vadinamieji Euklido skaičiai. Juos galima įsivaizduoti kaip skaičius, gaunamus pakartotinai sprendžiant kvadratines lygtis.

Visiems tiems trim uždaviniams reikia arba traukti kubinę šaknį arba naudoti p. Kubinė šaknis nėra Euklido skaičiumi, o Lindermanas įrodė, kad pi yra transcendentinis skaičius, t.y. jis negali būti jokios algebrinės lygties su sveikaisiais koeficientais sprendiniu - t.y., jis taipogi nėra Euklido skaičiumi.
Kubui, kurio kraštinė lygi 1, uždavinys tapatus lygties x3=2 sprendimui.

1. Skritulio kvadratūra

Duoto spindulio skrituliui nubrėžti tokio pat ploto kvadratą.

Jiedu turi bendrą plotą tik tuo atveju, jei spindulio ir kvadrato kraštinės santykis lygus kvadratinei šakniai iš p.
F. Lindemanas 1882 m. įrodė, kad negalima nubrėžti tokį santykį turinčių dviejų atkarpų.

2. Kubo padvigubinimas

Duotai kubo kraštinei nubrėžti dvigubai didesnio tūrio kubą.

Dar vadinamas Deliano uždaviniu. Reikia surasti tokį kubo briaunos ilgį, kad jo tūris padvigubėtų. Šių dienų terminais būtų - išspręsti x3 = 2 lygtį. Iš tikro, sprendžiant geometriniais metodais naudojant tik liniuotę ir skriestuvą, jos išspręsti negalima, nes Deliano konstanta Deliano konstanta(kubinė šaknis iš 2) nėra Euklido skaičius, jo negalima išreikšti dviejų sveikų skaičių trupmena. Tad reikėjo rasti, kaip šią reikšmę išreikšti geometriškai.

Menaechmas ją išsprendė suradęs dviejų parabolių x 2 = y ir y 2 = 2x susikirtimą. Ją taip pat galima išspręsti naudojant neusis („ribojančią“) konstrukciją, kai leidžiama slysti sužymėtai liniuotei. Ji leidžia išspręsti ir kampo trisekcijos ir taisyklingo heptagono sudarymo uždavinius.

1837 m. Pierre Wantzel‘is įrodė, kad šis uždavinys (kaip ir kampo trisekcijos) neišsprendžiamas naudojant tik tiesias linijas ir apskritimus (įrodymas išspausdintas „Journal of Liouville“)

3. Kampo trisekcija

Duotam bet kokiam kampui nubrėžti kampą, lygų trečdaliui pradinio kampo.

Uždavinys ekvivalentiškas kubinės lygties sprendimui.
Kampo trisekcija Kai kuriems kampams, pvz., 90o tai išsprendžiama lengvai.
Jo negalimumas įrodomas parodžius, kad neįmanoma padalinti 60 kampo.

Sprendžiama, kaip kampą padalinti į tris lygias dalis. Uždavinys iškilo, kai geometrai išmoko brėžti penkiakampį. Einant tolyn pasirodė, kad norint brėžti kitus n-kampius (ir kurių kraštinių skaičius kartotinis 9), reikia mokėti į tris dalis padalyti kampą.

Uždavinys neišsprendžiamas „plokštumos“ priemonėmis. Tarkime, kampas yra 60o. Tada:
cos 3a = cos a cos 2a - sin a sin 2a = cos a (cos2 a - sin2 a) - 2 sin2 a cos a = cos a ( 2 cos2 a - 1) - 2 (1 - cos2 a) cos a = 4 cos 3a - 3 cos a

Kai a = 20o:
cos 3a = 0,5
Ir lygtis virsta
8 cos3 a - 6 cos a - 1 = 0

Pakeitus x = cos a, gausime:
8 x3 a - 6a - 1 = 0
Dar kartą pakeitę v = 2x, gausime

v3 - 3v - 1 = 0   (*)

Beliko parodyti, kad ši lygtis neturi racionaliųjų šaknų.

Tarkim ji turi sprendinį p/q, kuris yra nesupaprastinama trupmena. Tada:
p3 - 3 p q2 - q3 = 0

Ją perrašykime:
p (p2 - 3 q2) = q3

Iš čia, p turi dalyti q3, taigi ir q, t.y. (p | q).

Iš kitos pusės, lygtį galime perrašyti taip:
q (p2 - 3 q2) = p3

iš čia analogiškai seka, kad q dalija p, t.y. ( q | p ). O taip gali būti tik tada, kai p/q yra 1 arba -1, bet nė vienas šių atvejų netenkina (*) lygties.

 

1) Pieras Vancelis (Pierre Laurent Wantzel, 1814-1848) – prancūzų matematikas. nuo 1838 m. keliose Paryžiaus mokymo įstaigose dėstė taikomąją mechaniką. Garsi jo 1837 m. publikacija, įrodanti klasikinių graikų kubo padvigubinimo ir kampo trisekcijos uždavinių neišsprendžiamumą. Taip pat įrodė, kad skriestuvo ir liniuotės pagalba neįmanoma nubrėžti taisyklinkų daugiakampių, kurių kraštų kiekis tenkina Gauso sąlygas (t.y. nesiskaido į 2 laipsnius ir pirminius Ferma skaičius). Tiesa, amžininkai į šią publikaciją dėmesio neatkreipė ir praėjus 80 m. tapo gerai žinoma tarp matematikų.
1843 m. taip pat įrodė, kad kubinis polinomas su racionaliais koeficientais turi tris realiąsias šaknis, tačiau jos yra neišvedamos nenaudojant kompleksinius skaičius turinčių išraškų.
Mirė 34 m. amžiaus, anot draugo, nuo pervargimo.

2) Ferdinandas Lindemanas (Carl Louis Ferdinand von Lindemann, 1852-1939) – vokiečių matematikas. Vystė įvairias matematikos sritis: Abelio funkcijų teoriją, projektyvinę, diferencialinę ir algebrinę geometrijas, skaičių teoriją. Taip pat užsiėmė matematikos istorija ir sprektro analizės teorija. Žinomiausias tapo įrodymu, kad p yra transcendentalus skaičius (t.y., nėra jokio polinomo šaknimi) – tuo pačiu, kad neišsprendžiamas ir skritulio kvadratūros uždavinys. Daugelį metų beviltiškai bandė įrodyti Didžiąją Ferma teoremą.
Buvo profesoriumi keliuose Vokietijos un-tuose (tarp jų ir Karaliaučiaus, 1883-1893). 1892 m. išrenkamas Albertinos rektoriumi. Po metų persikelia į Miuncheną ir jo universitete dirba iki mirties. Buvo didelis kalnų gerbėjas (buvo Vokietijos alpinistų sąjungos Karaliaučiaus sekcijos pirmininku).
Taip pat žr. >>>>>

Taip pat skaitykite:
Fraktalai
Matematikos keliu
Pitagoro teorema
Matematika ir muzika
Parabolės lenktas likimas
Matematikos pradžia Lietuvoje
Kirmgrauža tarp matematikos sričių
Mokslininkui nereikia matematikos!
Matematikos filosofinės problemos
Alef paslaptis: begalybės paieškos
Kantoro aibių teorija ir tikrosios begalybės intuicija
Džordžas Birkhofas: matematikas ir meno matuotojas
G. Perelmanas - keistuolio nesuprasi?
Ar nepabandysite išpręsti uždavinį?
Kai kurios pirminių skaičių formos
Matematikos atgimimas Lietuvoje
Surasta trilijonas trikampių
Dekarto koordinatės
Pirminiai skaičiai
Meilės sinusoidė
Ferma taškas
Topologija