Grandi paradoksas    

Kam lygu 1-1+1-1+1-1+... ir taip iki begalybės?

Tokį uždavinį pirmąkart nagrinėjo italų vienuolis ir matematikas Gvido Grandi*). 18 a. jis sukėlė ilgą ir gyvą diskusiją. Buvo siūlomi trys atsakymai: 0, 1 ir 1/2. Tačiau kuris iš jų teisingas?! Daugelis laikė, kad 1/2, ir net pateikdavo „įrodymus“. Pvz., Leibnicas samprotavo taip: sudedant iš eilės gauname 1, 0, 1, 0 ir t.t., t.y. 0 ir 1 yra lygiaverčiai ir todėl jų vidurkis yra labiausiai tikėtinas rezultatas. Oileris pasiūlė kitą paaiškinimą: geometrinės progresijos 1, -1, 1, -1, … , t.y., kai daugiklis lygus -1, suma lygi
S=1/(1-(-1))=1/2

Pats Grandi, kurio vardu dabar vadinama ši eilutė, gavo du atsakymus: 0 ir 1. Tam jis dėmenis suskirstė poromis ir skirtingai sudėliojo skliaustelius: vienu atveju pradedant 1, o kitu – pradedant -1. Ir tai jo nesutrikdė: teologas paėmė viršų prieš matematiką – lygybė tarp 0 ir 1, jo nuomone, įrodo, kad pasaulis (1) buvo sukurtas iš nieko (0). Vėliau Grandi pripažino 1/2 ir tai pagrindė tokia alegorija.

Tėvas dviem sūnums paliko brangakmenį. Pagal testamentą jo nebuvo galima padalinti ar parduoti. Metus jis būna pas vieną brolį, o kitus metus – pas kitą. Tad brangakmenį abu turės pusę viso laiko.

Deja, visi minėti asmenys klydo, nes pernelyg laisvai elgėsi su begalinėmis sumomis, joms priskirdami baigtinių sumų savybes. Tačiau iš esmės jokių apribojimų operacijoms su eilutėmis tuo metu dar ir nebuvo, o ir eilučių konvergavimo supratimas dar buvo nenusistovėjęs, kas dar labiau glumino matematikus. Jam atsiradus 19-me amžiuje ginčas buvo užbaigtas.

Išaiškėjo, kad daugelis sumų neturi rezultato (matematiškai sakoma, kad jos diverguoja). Tokia yra ir Grandi eilutė – kiek besumuotume jos narius, galutinio rezultato niekada negausime.

Prabėgo tie 300 m. Ir jau mūsų laikais italų tyrinėtojai atliko eksperimentą: 88 mokiniams, kurių amžius 16-18 m., ir nesusipažinusiems su begalinių eilučių savybėmis, pasiūlė išspręsti šį uždavinį. Iš ką jūs manote? Nuomonės pasiskirstė taip: 0 – 29% (ir 18 iš 26 pateikė paties Grandi argumentus); 1 – 4%; 0 arba 1 – 20%; 1/2 – 5%; begalybė – 2%; neįmanoma paskaičiuoti – 6%; neatsakė – 34%.

*) Guido Grandis (Luigi Guido Grandi, 1671-1742) – italų vienuolis, teologas, matematikas ir inžinierius. 1707 m. jau įgijo tokią matematiko reputaciją, kad buvo paskirtas Toskanos valdovo Kozimo III Medičio rūmų matematiku, akrtu dirbdamas ir inžinieriumi, atsakingu už vandens tiekimą kunigaikštystei.
1701 m. paskelbė kūgio loksodromos tyrinėjimus, o 1703 m. kreivės, kurią jis pavadino versiera. Vėliau šią kreivę tyrinėjo viena iš nedaugelio matematikių-moterų Marija Agnesi (1718-1799), - ir dėl klaidingo jos veikalo vertimo į anglų kalbą kreivė gavo „raganos Agnesi verzjerė“ (italų avversiera - ragana). Labiausiai žinomas darbu „Flores geometrici“ (1728), kuriame išnagrinėjama „rožės kreivė“ (ją pavadino rhodonea).

Taip pat skaitykite:
Fraktalai
Gyvenimo gėlelė
Matematikos keliu
Matematika ir muzika
Pi keliai ir klystkeliai
Parabolės lenktas likimas
Matematikos pradžia Lietuvoje
Mokslininkui nereikia matematikos!
Kombinatorika, polinomai, tikimybės
Endre Szemeredi darbų esmė „ant pirštų“
Klasikinės „neišsprendžiamos“ geometrinės konstrukcijos
Kantoro aibių teorija ir tikrosios begalybės intuicija
Iš Antikos ateinantis klausimas: kiek jų?
Pitagoro skaičiai per Fibonačio seką
G. Perelmanas - keistuolio nesuprasi?
Ar nepabandysite išpręsti uždavinį?
Begalybė (pristatymas)
Pirminiai skaičiai
Meilės sinusoidė
Topologija