Skaičiai B ir jų kvantinės sistemos    

Be arabiškų (indiškų) skaičių plačiai žinomos ir romėniškų skaičių sistemos. Norint geriau pažinti realaus pasaulio savybes ir jas aprašyti, tiriame skaičius ne tik kaip dydžius, bet ir kaip struktūras. Labai įdomias galimybes teikia skaičiai B.

Pirmiausia, prieš juos aprašydamas, pateiksiu uždavinį, kuris padės geriau suprasti pačių šių skaičių atsiradimo ir jų tyrimo poreikį:

Valstietis vyko į turgų parduoti obuolių. Pakeliui jis sutiko senelį ir pavėžėjo jį. Įsikalbėjo ir pasipasakojo, kad išvykdamas paliko namuose svarsčius. O senelis, kuris pasirodo buvo burtininkas, sako: „Atsidėkodamas, padėsiu tau … jei išspręsi uždavinį. Štai matai akmenį. Jis sveria lygiai 40 kg. Jei sugalvosi, į kiek mažiausiai dalių galima jį suskaldyti, kad galėtum pasverti bet kurį svorį iki 40 kg., aš tą ir padarysiu“. Valstietis buvo išmintingas žmogus ir sugalvojo, kad užtenka 4 svarsčių - 1kg, 3kg, 9kg, 27kg .

Kaip gi jis svėrė tuos obuolius ?

Tarkim, norėtų valstietis pasverti 20 kg obuolių. Tada, vienoje svarstyklių pusėje dėtų (sv - svarstis, ob – sveriami obuoliai) svarsčius, kitoje obuolius ir svarsčius . Tada : 27kg.sv+3kg.sv=20kg.ob+9kg.sv+1kg.sv. => 33 + 31=20 + 30+32 => 20= 33 + 31 – 30 - 32 . Iš pavyzdžio matome, skaičių 20, nustačius eilės tvarką, galime vienareikšmiškai išskaidyti į teigiamus ir neigiamus skaičių 3k dėmenis, t. y. į dvi aibes teigiamų {33, 31} ir neigiamų {30,32 } aibes. Nustačius mažėjančią tvarką teigiamų skaičių aibei, ir didėjančią tvarką neigiamų skaičių aibei skaičių 20 galime vienareikšmiškai išreikšti, kaip dviejų skaičių aibių, žym. +B={3,1} ir - B{0,2} sąjungą ir žymėsiu 31B02 pavidalu Tokiu būdu galime išreikšti ir užrašyti bet kurį natūrinį skaičių (įrodoma nesudėtingai, kad ir naudojantis vėlaiu aprašytais kvantais.) Kad išskirti šiuos skaičius iš kitų, šiuos skaičius vadinsiu skaičiais B.

Grįšiu į pasakojimą, apie valstietį:Jei svertų tarkim 5 Kg, tai svertų sekančiai 9sv=5ob+3sv+1sv => 5=32-30-31. Tad skaičius 5 kvantinėje skaičių sistemoje užrašomas kaip 2B01.

Jei grįšim iš turgaus į „grynų“ skaičių pasaulį, tai skaičių 11=9+3-1 užrašom kaip 21B0, o 14=27-9-3-1=3B012.

Iš tiesų, kiekvieną skaičių x <= 30 + 31 + 32 + … + 3n nustačius tam tikrą žymėjimo tvarką, galima vienareikšmiškai pažymėti kaip skaičių aibės A= {0, 1, 2, …, n} nepasikartojančių skaitmenų kombinaciją.

Kaip matom iš pavyzdžių, bet kuris skaičius B sudarytas iš teigiamos (+B skaičių sekos, naudosiu mažėjimo tvarka) ir neigiamos (-B skaičių sekos, naudosiu didėjimo tvarką) dedamųjų, tai yra B={+B,-B}. Pastebėjom iš pavyzdžių, mūsų užrašymo sistemoje skaičių B sudarantys skaitmenys niekada nesikartoja(t.y svarsčių naudojame tik tiek, kiek būtinai reikia). Tačiau tai nėra būtina skaičiaus B užrašymo sąlyga.Iš tiesų, jei turėsime daug to paties svorio svarsčių ir juos dėsim ant abiejų svarstyklių pusių, turėsim ta pačią išraišką. Nesvarbu, ir kokia tvarka išdėstysim svarsčius kiekvienoje svarstyklių pusėje. Tad egzistuoja ir kitos skaičiaus B užrašymo tvarkos.Kas nors gal pasiūlys ir efektyvesnę. Kokią naudosim, nulems, kaip atliksim operacijas. Labai tikėtina, kad atliekant skirtingų procesų tyrimus naudosim skirtingas. Bet nepriklausomai nuo jų užrašymo, egzistuoja:
1. būtina sąlyga, kad du B1{+B1,-B1} ir B2{+B2,- B2} lygūs, kai +B1,-B1 sankirtą sudaro tie patys skaitmenys, kaip ir +B2,- B2 sankirta;
2. Pakankama sąlyga, kad +B1,+B2 ir +B1,+B2 sankirtos nulinės.
Nustačius užrašymo tvarką aibės B poaibiams +B ir -B 1. Sąlyga tampa ir būtina ir pakankama.

Panagrinėkime skaičius B. Didžiausią skaičiaus B skaitmenį vadinsime skaičiaus B lygiu ir žymėsiu L. Tarkim skaičių 210B ir 21B0 lygis L=2, skaičiaus 3210B lygis L=3, o tarkim 1B0 arba 10B lygis L=1. Skaičių B aibę pagal lygius suskirstom į atkarpas, kurias vadinsim kvantais. Visus skaičius, kurių lygis L=n vadinsim lygio n kvantu ir žymėsim Kn.

Kvantų pavyzdžiai:

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Žymė: {dešimtainėje sistemoje}{B skaičių sistemoje}
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
K0: {1};   {0B}
K1: {2,3,4};  {1B0,1B,10B}
K2: {5,6,7,8,9,10,11,12,13} {2B01,2B1,20B1,2B0,2B,20B,21B0,21B,201B} 
K3: {14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40};
... ...

Įrodom, kad L=n sudaro 3n skaičių B, kur B>=nB - 0B – 1B -2B - ..- (n-1)B ir B<=0B+1B+2B+ .. +nB

Kiekvieną Kn kvantą sudaro 3n skaičių.

Kuo įdomūs šie skaičiai, be to, kad kiekvienas iš jų sudarytas iš NEPASIKARTOJANČIŲ skaitmenų. Dar kita labai įdomi savybė, kad tiek ir sandaugos operacijos, kaip ir atliekant veiksmus su dvimačiais skaičiais virsta sudėties operacijomis. Manau, jie padės supaprastintai spręsti daugelį skaičių teorijos uždavinių, problemų ir atrasti kitas skaičių savybes. Tad, tikėtina, kad kvantiniai kompiuteriai ir naudos šią skaitmeninę sistemą o patobulinus, gal ir dabartiniai. Skaičiai B gali būti konstruojami ne tik naudojant dydžio 3 laipsnius. Tą galima daryti ir dydžio 2 pagrindu. Gal kas nors ras ir kitus skaičius B. Tad galima kalbėti apie dvejetainę ir trejetainę skaičių B sistemas, dvejetainius ar trejetainius kvantus. Ar egzistuoja kitos skaičių B sistemos? Bent jau aš kol kas jų dar neradau.

Sandaugos ir sudėties operacijos su skaičiais B

Kaip jau pastebėjom, kiekvienas kvanto Kn skaičius B sudarytas iš tam tikra tvarka išdėstytų {1, 2, 3 ..,n} skaitmenų. Kiekvieną šį skaitmeni vadinsime kvanto būsena, o jo dydį - būsenos eile. {+B} aibės būsenas vadinsiu teigiamomis, žymėsiu ženklu +, {-B} aibės būsenas vadinsiu neigiamomis ir žymėsiu - ženklu.

Tad kiekvieną kvanto skaičių galime išreikšti kaip tam tikrą būsenų aibę. Kaip jau anksčiau pastebėjom, skaičius B sudarytas iš teigiamų {+B} ir neigiamų būsenų {-B} aibių, kur {-B} gali būti ir nulinė. Tuščią kvanto būseną žymėsiu tiesiog B. Kiekviena teigiama ir neigiama to paties lygio būsena, operacijų metu ar užrašant skaičių naikina viena kitą. Visos kvanto būsenos galima atvaizduoti kaip skaičių tiesės atkarpą. Tarkim, kvantą K3 žymėsiu ir vaizduosiu kaip 3210-0123 skaičių tiesės atkarpą. Tad kiekvieną skaičių B galime išreikšti(sukonstruoti) kaip kvanto, kuriam jis priklauso būsenas.

Sudėties operacija atliekama tik su tos pačios eilės būsenomis. Tarkim sudėsime skaičius 3B012 ir 210B. Užrašome šiuos skaičius, kaip kvantines būsenų tiesės

----------------------------------------------------
.. 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 - 0 1 2 3 4 5 6 7 8 .... išraiškas:
--------------------------------------------------------------
3B012 (14) kaip 3 B 0 1 2
 +
210B (13) kaip 2 1 0 B ir susumuojam
------------------------------------------------------------- 
 3 2 1 0 B 0 1 2 => Dvi aktyvios tos pačios eilės būsenos viena kitą =>
 3 B = B3 (27)

Labai paprastai šį operacija atliekama dvejetainėje sistemoje -------------------------------------------------------------- 3B210 kaip 1 0 0 0 - 1 1 1 fiksuojam kvantines būsenas + 210B kaip 1 1 1 - 0 0 0 ir susumuojam ------------------------------------------------------------- 1 1 1 1 - 1 1 1 => 1 0 0 0 - 0 0 0 => B3, nes tik viena būsena 3 yra aktyvi.

Tad pagal šią sudėties taisyklę, kiekvienas skaičius B yra išreiškiamas kaip pirminių skaičių B suma ar skirtumas:

Tad 3B012=3B-0B-1B-2B arba 210B=2B+1B+0B

Kadangi tiek sudėties, tiek atimties operacijas atliekam tik su to paties lygio būsenomis, o dviejų vienodų būsenų skaičius negali turėti, tad nustatom tik būsenų sudėties taisyklę. Pagal apibrėžtį:

0B+0B=30 + 30 = 31 - 30 = 1B-0B
1B+1B=31 + 31 = 32 - 31 = 2B-1B
2B+2B=32 + 32 = 33 - 32 = 3B-2B
.....................................................
nB+nB=3n + 3n = 3n+1 - 3n = (n+1)B-nB

tai yra sudedant dvi to paties lygio ir to paties ženklo būsenas gauname dvi skirtingas skirtingų ženklų būsenas. Tokiu būdu sudedant du skaičius 3B210 (14) ir 3B21 (15) : (3+3)B-(2+2)B-(1+1)B-0B=4B-3B-(3B-2B)-(2B-1B)-0B=4B- (3B+3B)+(2B-2B)+1B-0B=4B-(4B-3B)+1B-0B=3B+1B-0B=31B0 sudėties ir atimties operacijas atliekame tik su to paties lygio kvantinėmis būsenomis.

Visos operacijos su skaičiais B kvantinėse sistemose atliekamos uždegant arba gesinant būsenas.

Atlikime sandaugos operaciją kvantinėje sistemoje. Pradžioje atlikime pirminių skaičių 3B * 2B sandaugą. 3B * 2B=33 *32=35 => 3B*2B=(2+3)B, t.y. atliekant sandaugą su pirminiais B skaičiais, keičiama būsenų eilių sumavimu.

Tas pats ir su sudėtiniais skaičiais B. Tarkim dauginam 4B2 (72) iš 30B (28). Pagal skaičių B apibrėžti tai (34-32)*(33+30)=34*33+34* 30-32*33-32*30 =>
4B2*30B=4B*3B+4B*0B-2B*3B-2B*0B=B(4+3)(4+0)-(2+3)(2+0)=>
4B2*30B = 74B52 => kad bet kurių realių skaičių sandaugos operacija atliekama sumuojant jų kvantinių būsenų eiles, t.y daugybos operacija natūrinių skaičių aibėje keičiama kvantinių būsenų lygių sumomis.

P.S. Skaičių sistemos B iš esmės nagrinėja skaičius, ne kaip dydžius, o kaip kvantų būsenas. Kiekvienas skaičius charakterizuoja tam tikrą tam tikro kvanto būseną. Tačiau, tai ne vien tik dydis. Žengiam į kitą skaičių suvokimo sistemą. Tada kiekvienas skaičius tampa lyg ir Saulės sistemos su planetomis ar atomas su savo branduoliu ir elektronais momentine nuotrauka. Tada į tam tikrą skaičių aibę galim žiūrėti kaip į galaktiką ar genomą. Aibės +B ir -B yra lyg ir teigiami ar neigiami atomo krūviai, sukiniai... Skaičių aibė gali būti tiriama įvairiais aspektais, tiriant jos kvantų būsenas. Ši sistema leidžia bet kurį procesą aprašyti ne kaip algoritmą, o kaip tam tikrą skaičių seką ne kaip dvejataine (šiuolaikinėse skaičiavimo mašinose), o kaip n-mates kvantų būsenas. Tad ir bet kuris dydis ar skaičius gali būti tiriamas, kaip procesas. Manau, tai atveria tikrai neaprėpiamas greito kodavimo ar užkodavimo galimybes.

Viliuosi plataus šių skaičių taikymo įvairiose mokslo srityse, ypač skaičiavimo technikoje, fizikoje, biologijoje, tiek ir matematikoje ir kitose srityse ieškant, o radus tiriant ir aprašant vis daugiau realaus pasaulio ryšių.

Ričardas Grigas, „Vartiklyje“ pirmąkart publikuota 2016.06.10    

Taip pat skaitykite:
Fraktalai
Pirminiai dvyniai
Begalybė (pristatymas)
Parabolės lenktas likimas
Golbacho teiginio įrodymas?
Skaičiai – apžvalga/ pradmenys
Naujoji Visatos mechanika
Matematikos pradžia Lietuvoje
Matematika - tai žavesys ir tiesa
Mokslininkui nereikia matematikos!
Iš Antikos ateinantis klausimas: kiek jų?
Ultimatyvi logika: iki begalybės ir toliau
Greičiais C besiplečiančios–besitraukiančios erdvės B
Erdvės B tyrimas remiantis Puankarė modeliu ir kai kurios išvados
Džordžas Birkhofas - matematikas ir meno matuotojas
Paradoksai sulig dirbtiniu intelektu
Ar jau rūksta dūmai? Navier Stokes lygtys
Ulamo spiralė: netikėtas dėsningumas
G. Perelmanas - keistuolio nesuprasi?
Ar nepabandysite išpręsti uždavinį?
Kai kurios pirminių skaičių formos
Matematikos atgimimas Lietuvoje
Didžioji Ferma teorema
Matematika ir muzika
Matematikos keliu
Jų begalinė išmintis
Pirminiai skaičiai
Meilės sinusoidė
Topologija