Begalybė (pristatymas)    

Pratarmė

Tam, kad iš čia atsirastum ten, kur nori būti, privalai pradėti ne iš čia.

Begalybė visad labiau įaudrindavo žmoniją nei koks kitas klausimas; begalybė vaisingai stimuliavo mąstymą, kaip ir kelios kitos idėjos, tačiau begalybė, labiau nei bet kuri kita sąvoka, turi būti išaiškinta.
D. Hilbertas

Begalybė paprastai suprantama kaip kažkas begalinio, beribio, neapžvelgiamo, neišmatuojamo. Kartais ji pasireiškia ir labiau teologiniais terminais – kaip kažkas absoliutaus, visuotinio, tobulo – bet šio aspekto neimsime.

Per visą savo istoriją begalybės sąvoka buvo kažkuo įtartina. Iš dalies tai dėl to, kad jos negalima patirti, o iš dalies ir todėl, kad ji sukelia paradoksus. Tas problemas gerai žinojęs Aristotelis skyrė „aktualiąją begalybę“ (kad begalinumai egzistuoja ar yra duoti tam tikrame laiko taške) nuo „potencialios begalybės“ (galimos per laiką; tai procesai, kurie niekada nesibaigia: pvz., skaičiuojant ar dalijant daiktą į dalis, ar pati laiko tėkmė).

Tokio požiūrio įtaka neįsivaizduojama. Du ar daugiau tūkstančius metų jis turėjo ortodoksinį statusą. Tačiau vėliau mąstytojai linko laiką imti kaip kažko abstraktesnio metaforą. Prasmė to, kas „laike“ ar egzistuoja „visa kartu“ pradėjo įgauti platesnę prasmę nei Aristoteliui. Taip aktualiosios begalybės išimtis tapo idėjos, kad begalybė gali būti suvaldyta, išimtis. Atskiru atveju, tai tapo idėjos, kad begalybė gali būti teisėtu matematikos objektu, išimtimi.

Tai galutinai nuvainikavo 19 a. Kantoro1) išvystyta griežta, koherentiška ir sisteminga matematinė begalybės teorija (platesnį aptarimą žr. >>>>>). Bet ar ji tikrai panaikino „aktualiąją begalybę“?

Kad apsaugotų savo teoriją nuo įvairių prieštaravimų, Kantoras operavo su tam tikra koncepcija, dažnai laikoma iteratyvine, t. y. aibe. Šioje koncepcijoje yra aibė, kurios egzistavimas yra kažkaip parazitinis jos narių atžvilgiu: jie privalo prieš tai egzistuoti. Tad yra daiktai, kurie nėra aibės (žmonės, medžiai, akmenys ir kt.). Tada atsiranda tų daiktų aibės. Ir taip toliau, be galo. Viskas, tame tarpe kiekviena aibė, priklauso begaliniam tolimesnių aibių kiekiui. Tačiau niekada negauname aibės, kuri apimtų viską – nėra visų aibių aibės.

Ši koncepcija yra intuityviai suvokiama. Bet ar joje nėra kažko aristoteliško? Aibės pavaizduojamos kaip kažkas atsirandančio „po“ savo narių. Jų apibendrintas begalinumas, priešingai kiekvienos jų atskirai, yra potencialus, o ne aktualus. Jų bendram begalinamumui, o ne atskiram nariui, labiau tinka tie begalybės apibūdiniamai, kurie buvo nurodyti pradžioje (kažkas begalinio, beribio, neapžvelgiamo, neišmatuojamo).

Tai suprato Kantoras, sukurdamas aibių hierarchiją. Jis parodė, kad natūrinių skaičių aibė {0, 1, 2, …} yra riboto dydžio, nes yra kitų aibių, pvz., natūrinių skaičių aibių aibė, turinti daugiau narių. Jis parodė, kad aibei gali priskirti tikslų matematinį matą, nurodantį, kokia plati yra toji aibė (jis vadinamas kardinaliniu skaičiumi). Tad yra prasmė tame, kai natūrinių skaičių aibė yra „tikrai“ baigtinė, o „tikra“ begalybė yra kažkas visai kito tipo. Ir jo darbai leido parodyti, kad „tikroji“ begalybė niekada negali būti aktualiąja.

Daugelis sakys, kad natūrinių skaičių aibė yra „tikra“ begalybė, nes kitaip tai nedera nei su matematine terminija, nei su „sveiku protu“. Tačiau dauguma žmonių nesusipažinę su Kantoro pasiekimais. Jie gali neigti ir tai, kad viena begalinė aibė būna didesnė už kitą. Svarbu tai, kaip tai suprantama ir kaip tas supratimas tenkina tikslą. Ir jei tikslas yra paaiškinti tam tikrus matematinius rezultatus, tada nieko nėra geriau nei remtis matematine terminologija. Tačiau reikia būti atsargiems, kai tuos rezultatus bandome suderinti su tradicine begalybės samprata.

Bet yra ir kitas teisėtas begalybės naudojimo būdas. Tai mūsų noras suprasti („išdėstyti žodžiais“) aktualiąją begalybę. Mes galime pasakyti: turime neišreiškiamą tokį žinojimą, kad jei bandysime (aišku, nesėkmingai) jį išreikšti, tada galėsime sakyti, kad begalybė egzistuoja. Tai perteikiama tokia formule:

A parodomas kaip x
kas apibrėžiama tokia prasme
A yra neišreiškiamas pažinimas; ir jei bandoma jį išreikšti, tada rezultatas yra x.

Taip galima įrodyti, kad begalybė egzistuoja. Iš to neseka, kad begalybė tikrai egzistuoja. Netgi neseka, kad žodžių darinys „begalybė egzistuoja“ turi prasmę tame kontekste.

Šis samprotavimas paimtas iš Vitgenšteino ankstyvojo darbo, kuriame jis tvirtino, kad yra daiktų, kurie, nors ir negali būti išsakyti, tačiau gali būti parodyti. Savo pirmosios knygos didesnėj dalyje Vitgenšteinas bandė pateikti kai kuriuos tokius daiktus. Nenuostabu, kad tai sukėlė tam tikrą panieką ir pajuoką. Išgarsėjo F. Ramsey2) pasakymas: „To, ką galime pasakyti, negalime pasakyti; ir mes taip pat negalime pašvilpauti to“.

Bet norint rimtai kalbėti apie neišreiškiamą, reikia labai tiksliai žinoti, kokia to diskurso sritis. Jei sritis labai plati, tai pasakymas, kad kai kurie dalykai neišreiškiami, yra trivialus. Juk nėra aiškaus būdo išreikšti, kas glūdi marmuro luite (kol jo nepalietė skulptoriaus plaktukas). O jei sritis pernelyg apribota, tai toks posakis tampa, matyt, nerišlus. Tokios problemos neturėtų kilti kalbant apie pažinimo būsenas.

Visos problemos ir paradoksai, su kuriais susiduriame aiškindamiesi begalybę, yra susiję su mūsų pačių baigtinumu. Šio baigtinumo savivoka yra pirmasis dalykas, sukeliantis prieštaringą mintį apie begalybę; bet ji kartu sukelia mūsų desperaciją, net ir bandant nustatyti begalybės prasmę. Iš vienos pusės yra spaudimas, kad begalybė egzistuoja, o iš kitos – kad ji neegzistuoja.

Mūsų baigtinumo geriausias įrodymas yra mirtis. Kaip turime žvelgti į savo mirtį? Tarp visų kylančių klausimų yra du ypač įdomūs priešpastatymui. Jie panašūs, tačiau svarbu juos skirti. Tai:
a) Ar mirtis yra blogas dalykas?
b) Ar nemirtingumui gali būti teikiamas pranašumas prie mirtingumą?

Atsakymai gali būti atitinkamai „taip“ ir „ne“. Mirtis yra blogai, nes ji atima galimybę mirštančiajam ir kitiems nuo prasmės atskleidimo. Iš kitos pusės, mirtingumas gyvenimui suteikia esminę struktūrą ir taip prasmingumo galimybę.

T. Nagelis duoda elegantišką paaiškinimą:
„Gavęs paprastą pasirinkimą tarp gyvenimo savaitę ir mirimo po penkių minučių, aš visada rinkčiaus gyvenimą savaitę... darau išvadą, kad būčiau linkęs gyventi amžinai“.

Tačiau iš nurodytos prielaidos tokia išvada neseka. Jei man garantuos po savaitę, tai kartojant pasirinkimus galiu gyventi amžinai. Tačiau tai nelygu tam, kad galėčiau iš karto rinktis gyventi amžinai. Aš galiu būti priblokštas minties, kad rengiuos gyventi amžinai. Aš galiu niekada nenorėti mirti be noro niekada nemirti.

Ir vis tik galutinė išvada būtų tokia – mąstydami apie begalybę, mes pirmiausia vis tiek galvojame apie save.


Trumpos biografijos

1) Georgas Kantoras (Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, 1845-1918) – vokiečių matematikas, žinomas kaip aibių teorijos kūrėjas. Jis įvedė aibių matus (kardinalinius skaičius) ir aritmetikos veiksmus su jais. Jo darbai turi ir didelę filosofinę reikšmę (pvz., kritikos jo transfinityviams skaičiams pažėrė L. Vitgenšteinas – jis sakė, kad „matematika skersai ir išingai išmindžiota ardančių aibių teorijos idiomų“). Kantoras, tikintis liuteronas, tikėjo, kad šią teoriją jam davė pats Dievas. O kai kurie teologai (ypač neo-tomistai) laikė, kad tai iššūkis Dievo prigimties begalinumui. Gindamas Kantorą, D. Hilbertas yra pasakęs: „Niekas neišvarys mūsų iš rojaus, kurį sukūrė Kantoras“.

2) Frenkas Ramsėjus (Frank Plumpton Ramsey, 1903-1930) – anglų matematikas, įvedęs atskirą matematikos sritį (Ramsėjaus teoriją), užsiminėjęs ir filosofija bei ekonomika. Straipsnyje „Faktai ir teiginiai“ (1927) išdėstė „perteklinę tiesos teoriją“. Ekonomikoje užsiėmė matematiniu modeliavimu bei kūrė optimalių mokesčių sistemą. Artimai draugavo su Vitgenšteinu, su kuriuo aptarinėjo įvairius klausimus. Pasaulietinėmis pažiūromis buvo karingu ateistu.
Nereikia painioti su Janu Ramsėju3), kuris taip pat susijęs su Vitgenšteinu – apie Vitgenšteiną žr. >>>>>

3) Janas Tomas Ramsėjus (Ian Thomas Ramsey, 1915-1972) – religijotyrininkas ir Durharmo vyskupas (nuo 1966). Daug rašė apie religijos kalbą, krikščionišką etiką, mokslo ir religijos ryšį, krikščionybės apologetiką.

Jis iškėlė daug 20 a. liečiančios teologijos klausimų. Vienas buvo „Dievo kalbėjimas“ arba teologinė kalba. Plačiai naudojosi L. Vitgenšteino,  A. Ayer‘o ir kt. loginio pozityvizmo atstovų rašiniais. Anot Ayero „Kalba, Tiesa ir Logika“ (1936) religinė (arba teologinė) kalba yra nemokslinė, religiniai teiginiai laikyti techniškai beprasmiais, nes tokie tvirtinimai kaip „Dievas yra“ nėra eksperimentiškai patikrinamas. Ramsėjus prieštaravo. Anot jo, teologinė kalba remiasi „nuolatine paslaptimi“, kuri skiriasi nuo kitų paslapčių, kurias galima išsiaiškinti faktų ir žinių pagalba. Nuolatinė paslaptis negali būti klaidinga.

Susijusi literatūra:

  1. N.Y. Vilenkin. In Search of Infinity, 1995 [bendras, iš dalies istorinispateikimas]
  2. Brian Torman. Ad Infinitum... The Ghost in Turing's machine: taking God Out of Mathenatica and Putting the Body Back, 1993 [ ši ir kita – kaip begalybės koncepcija pasiekiama naudojantis tik baigtiniais resursais]
  3. Staughan Lavine. Understanding of Infinite, 1994
  4. Janet Folina. Poincare and the Philosophy of Mathematics,1992 [ ši ir kitos dvi knygos – skirtingi begalybės aspektai ]
  5. Michael Potter. Reason's Nearest Kin: Philosophies of Arithmetic from Kant to Carnap, 2000
  6. Mathieu Marion. Wittgenstein, Finitism, and the Foundations of Mathematics, 1998
  7. Paolo Mancosu. From Hilbert to Brouwer: The Debate on the Foundations of Mathematics in the 1920s, 1998
  8. Roger Penrose. Shadows of the Mind: A Search for the Missing Science of Consciousness, 1995 [ apie Giodelio teoremą ir ryšį su dirbtiniu intelektu ]
  9. William Lane Craig. The Kalam Cosmological Argument, 1979 [ apie begalybę klausime apie Dievo egzistavimą ]
  10. A.W. Moore. Infinity, 1993 [ svarbių straipsnių nuo 1950-ųjų rinkinys ]
  11. Gilles Deleuze. The Logic of Sense, 1990 [ ši ir kitos knygos nagrinėja metafizinius begalybės klausimus ]
  12. Patric Grim. The Imcomplete Universe: Totality, Knowledge, and Truth, 1991
  13. Emmanuel Levinas. Totality and Infinity: An Essay on Exteriority, 1991
  14. Graham Priest. Beyond the Limits of Thought, 1995

Taip pat skaitykite:
Fraktalai
Matematikos keliu
Matematika ir muzika
Parabolės lenktas likimas
Matematikos pradžia Lietuvoje
Matematika - tai žavesys ir tiesa
Mokslininkui nereikia matematikos!
Matematikos filosofinės problemos
Kombinatorika, polinomai, tikimybės
Alef paslaptis: begalybės paieškos
Skaičiai B ir jų kvantinės sistemos
Ultimatyvi logika: iki begalybės ir toliau
Klasikinės „neišsprendžiamos“ geometrinės konstrukcijos
Kantoro aibių teorija ir tikrosios begalybės intuicija
Džordžas Birkhofas - matematikas ir meno matuotojas
G. Perelmanas - keistuolio nesuprasi?
Ar nepabandysite išpręsti uždavinį?
Kai kurios pirminių skaičių formos
Matematinė kalba ir simbolika
Matematikos atgimimas Lietuvoje
Jų begalinė išmintis
Pirminiai skaičiai
Meilės sinusoidė
Topologija