Nauja pirminių skaičių klasė  

Paimkite pirminius skaičius 584 141294 001  505 447 – ar pastebite juose kažką neįprasta?! O juk jie priklauso nesenai įvestai naujai skaičių klasei – tai vadinamieji skaitmeniškai trapūs pirminiai skaičiai. Paimkite bet kurį šių skaičių skaitmenį ir jį pakeiskite kitu – ir iškart gausite sudėtinį (t.y. ne pirminį) skaičių.

1978 m. Murray Klamkin’as1) susidomėjo, ar yra tokių skaičių – ir jis netruko gauti atsakymą iš Palo Erdošo, kuris netgi įrodė, kad jų yra begalinis skaičius (ir ne tik skaičiams pagrindu 10, bet ir bet kokiu kitu). Kiti matematikai iš plėtojo P. Erdošas, tarp jų ir Fieldso medalio laureatas Terence Tao2), 2001 m. įrodęs, kad „tam tikra pirminių skaičių proporcija“ yra skaitmeniškai trapūs. Tai reiškia, kad vidutinis jų pasiskirstymas išlieka gana pastovus.

2021 m. Michael Filaseta3) iš Pietų Karolinos dviejuose straipsniuose toliau išvystė idėją išvesdamas dar retesnę pirminių skaičių klasę. Jis susidomėjo, kas nutiktų, jei prie pirminių skaičių iš kairės prijungtume bet kokio ilgio nulių seką ir tada pakeistume bet kurį tų nulių kitu skaitmeniu. Ar jis tada bus sudėtiniu? Jis nusprendė, kad tokie skaičiai gali vadintis plačiai skaitmeniškai trapiais. Michael Filaseta

Tokius skaičius sunkiau rasti. Tarkim, pakeičiam ...000 294 001 į ...010 294 001 – ir šis naujas skaičius irgi yra pirminis. M. Filasetai su jo studentu S. Southwick’u nepavyko rasti tokių skaičių, nors jie peržiūrėjo visus sveikus skaičius iki 1 mlrd. Tačiau jie įrodė, kad tokie skaičiai įmanomi ir jų yra begalinis skaičius, o taip pat, kad jų yra tam tikra proporcija.

Įrodymas remiasi dviem įrankiais. Vienu jų yra padengiančios kongruencijos, 1950 m. įvestos P. Erdos kito uždavinio sprendimui. Tai didelis kiekis padalijimų, garantuojant, kad bet kuris teigiamas skaičius yra bent viename jų. Pvz., jei visus sveikus teigiamus skaičius padalinsime iš 2, gausime du padalijimus: lyginių ir nelyginių skaičių – ir bet kuris sveikas teigiamas skaičius priklausys kuriam nors jų. Skaičiai padalijime laikomi „kongruentiniais“.

Situacija su plačiai skaitmeniškai trapiais pirminiais skaičiais yra gerokai sudėtingesnė ir prireikia gerokai daugiau padalijimų, kažkur apie 1025000. Ir viename iš tų padalijimų garantuotai bet kuris pirminis skaičius turi tapti sudėtiniu, jei bus padidintas bet kuris jo skaitmuo, įskaitant nulius kairėje.

Bet jis turi būti plačiai skaitmeniškai trapiu ir sumažinant bet kurį skaitmenį – o tam panaudojamas kitas įrankis, vadinamas rėčiu. Šie metodai atsižvelgia į skaičius, turinčius tam tikras savybes. M. Filaseta ir S. Southwick’as panaudojo rėtį, panašų į T. Tao naudotą 2011 m.

Ir pagaliau 2021 m. sausio mėn. straipsnyje M. Filaseta su kitu studentu J. Juillerat’u paskelbė dar labiau pribloškiantį tvirtinimą: egzistuoja kiek norima ilgos sekos iš eilės einančių pirminių skaičių, esančių plačiai skaitmeniškai trapiais.

Galima ir toliau kelti panašius klausimus – pvz., ar pirminis skaičius tampa sudėtiniu, jei į jį įterpiamas (o ne pakeičiamas) arba pašalinamas skaitmuo? Pvz., imkime 101, kuris yra pirminis. Įterpus į jį 1, gausime, pvz., 1011, kuris yra sudėtinis. O pašalinę 1 gautume 10, kuris irgi sudėtinis. Tema tyrinėjimams dar nėra išsemta... Tik štai, - pirminių skaičių atvaizdavimas nėra vienintelis įmanomas. Štai Merseno skaičiai apibrėžiami kaip 2p-1.


Trumpos biografijos

1) Miurėjus Klamkinas (Murray Seymour Klamkin, 1921-2004) – amerikiečių matematikas, žinomas kaip matematinių problemų iškėlėjas. 1976-81 m. Albertos un-to matematikos fakulteto dekanas, nuo 1981 m. - profesorius. Buvo SIAM Review ir kitų leidinių uždavinių rubrikos redaktoriumi. Buvo aukščiausio lygio matematinių olimpiadų rengėju, už ką 1992 m. tapo Hilberto apdovanojimo laureatu.

2) Terensas Tao (Terence Chi-Shen Tao, g. 1975 m.) – australų kilmės amerikiečių matematikas, Kalifornijos un-to profesorius; 2006 m. Fieldso medalio ir 2014 m. Proveržio (Breakthrough) premijos laureatas. Dirba harmoninės analizės, lygčių dalinėmis išvestinėmis, kombinatorikos, tikimybių teorijos, skaičių teorijos, atvaizdavimų teorijos srityse. Geriausiai žinomas įrodymu (kartu su B. Grinu), kad egzistuoja neribotai ilgos pirminių skaičių aritmetinės progresijos (Grino-Tao teorema). Yra matematikos populiarintojas (veda blogą). 2019 m. tikimybių teorijos pagalba įrodė, kad Kolatco hipotezėje beveik visos orbitos apribotos bet kuria į begalybę nueinančia funkcija. 2020 m. gavo teigiamą atsakymą (pakankamai dideliems polinomų laipsniams) Sendovo-Iljevo hipotezėje.
Taip pat apie jį žr. >>>>>

3) Maiklas Filaseta (Michael Filaseta) – amerikiečių matematikas, Pietų Karolinos un-to profesorius. Darbai iš skaičių teorijos srities, ypatingą dėmesį skiria gardelės taškams artimiems kreivei ar paviršiui (ar esantiems juose), tam tikrų sveikų skaičių pasiskirstymais trumpuose intervaluose ir sveikų skaičių padengimu kongruencijomis, bei kita. Naujausi darbai susiję su racionaliaisiais polinomais ir jų faktorizacija.

Taip pat skaitykite:
Pirminiai dvyniai
Pirminiai skaičiai
Pi keliai ir klystkeliai
Kirmgrauža tarp matematikos sričių
Mokslininkui nereikia matematikos!
Matematikos filosofinės problemos
Kai kurios pirminių skaičių formos'>
Kai kurie pasiekimai 2020 m. matematikoje
Klasikinės „neišsprendžiamos“ geometrinės konstrukcijos
Naujos skaičių sistemos siekia atgauti pirminius skaičius
Iš Antikos ateinantis klausimas: kiek jų?
Naujas pirminių skaičių dėsningumas
Ar pabandysite išpręsti uždavinį?
Matematikos atgimimas Lietuvoje
Ar įrodytas abc teiginys?
Vištų matematiniai pokalbiai
Trijų kūnų uždavinys aštuoniukėje
Išmatuojame apskritimą
Matematikos keliu
Ferma taškas