Iš Antikos ateinantis klausimas: kiek jų?    

Manjul Bhargava

Pasižiūrėjus matematikų darbų formuluotes ir jų naudojamus terminus, kartais visai neaiški tų darbų esmė. Čia pateikiame paprastai („ant pirštų“) paaiškintą M. Bhargavos darbų esmę, už kuriuos jis 2014-as gavo Fieldso medalį.

Tai, kad daugiau kaip prieš 3000 m. žmonės mokėjo ne tik išspręsti lygtį
c2= a2 + b2
bet ir rasti daugelį jos sveikų skaičių sprendinių (vadinamų Pitagoro skaičiais), yra įamžinta megalitiniuose statiniuose. Panašūs klausimai rūpėjo matematikams per amžius. Naujesnis pavyzdys yra 1913 m. S. Ramanudžano spėjimas, kad išraiška
2n - 7
yra kvadratinis skaičius tik kai n=3, 4, 5, 7 ir 15 (ir jokioms kitoms n reikšmėms). Tą keistą faktą pagaliau įrodė 1948 m. norvegas T. Nagelis1). O dabar jau žinom, kad vadinamųjų Ramanudžano-Nagelio išraiškų
2n - b
reikšmė yra kvadratinis skaičius tik 2-iem n reikšmėms, išskyrus kai n=7 (kad jų skaičius baigtinis seka iš K.L. Zigelio2) rezultato).

Dabar Bhargava sako, kad mes galime klausti kitokius klausimus – tarkim, ne kas nutinka konkrečiai b reikšmei, o kas nutinka šio tipo išraiškai bendrai. Mes žinom, kad daugiausia dvi n reikšmės rezultate duoda kvadratinį skaičių. Bet ar tai įprastas jų elgesys? Gal labiau įprasta, kad dauguma šio tipo išraiškų neturi tai tenkinančių n reikšmių?

Hiperelipsinės lygtys – ne tokios baisios kaip jų pavadinimas

Hiperelipsinė kreivė Iš tikro, tai jos tėra polinomai su racionaliais koeficientais, kurių rezultatas yra kvadratinis skaičius:
Hiperelipsinė lygtis

Jos taip vadinamos todėl, kad visi jos realių skaičių sprendiniai plokštumoje nubrėš kreivę, pvz.,
y2=x5-x
duos dešinėje vaizduojamą kreivę.

Bhargava su kolegomis stengiasi rasti visus jų sveikų skaičių sprendinius, o bendresniu atveju – ir racionalius sprendinius (racionalius hiperelipsinės kreivės taškus).

Hiperelipsinės lygtys turi ir kompleksinius sprendinius. Juos nubrėžti galime dvimatėje kompleksinių skaičių plokštumoje. Tad visus tokių lygčių sprendinius galime pavaizduoti 4-ėje erdvėje, tačiau ją sunku vizualizuoti. Tačiau laimei jie sudaro dvimačius paviršius – torus ar dar sudėtingesnius objektus, kurie yra iš esmės yra sfera su daugiau skylių.

Giminės
Paviršiaus giminė – skylių kiekis: sfera – 0; toras – 1 ir t.t.

Topologijoje paviršiaus kiaurymių skaičius vadinamas gimine (genus) – jis išlieka topologiškai invariantiškas. Ir kas įdomiausia, ši topologinė savybė susijusi su pradiniu klausimu apie racionalinius sprendinius.

Bhargava pateikė rezultatą, kurio galutinę dalį 1983 m. įrodė G. Faltingsas3), kuris hiperelipsinėms lygtims susieja kiaurybių kiekį su racionalių sprendinių kiekiu. Jei paviršius neturi skylių, tai lygtis arba neturi racionalių sprendinių arba turi begalinį jų skaičių.

Kita teoremos dalis, tam atvejui, kai paviršius turi vieną skylę (t.y. toras), tada jis turi baigtinį ar begalinį sprendinių kiekį. Tačiau įdomiausias atvejis, kai paviršius turi daugiau nei vieną kiaurymę – tuo atveju turi baigtinį skaičių sprendinių. Vis tik teorema nenurodo, kiek sprendinių turi hiperelipsinė lygtis, kai jos paviršius turi vieną arba daugiau skylių.

Teorema galioja ir platesnei kreivių klasei, algebrinėms lygtims4), tačiau hiperelipsinės lygtys turi didelį privalumą – lengvą būdą paskaičiuoti kiaurymes – n-ojo laipsnio lygties giminė yra sveikoji (n-1)/2 dalis. T.y. 1 arba 2 laipsnio lygtis turi giminę 0, - ir tai reiškia, kad neturi arba turi begalybę racionalių sprendinių (ir mes turim būdą, kurią iš šių galimybių rinktis), - ir t.t.

Taigi, kai lygties laipsnis 3 ir daugiau, neturime būdo nustatyti sprendinių kiekio. Trečio laipsnio lygtys ypač įdomios (tai žemiausias laipsnis, apie kurio sprendinių kiekį negalime nuspręsti). Tai vadinamosios elipsinės kreivės, kurias galime užrašyti:
y2 = x3 + ax + b

Iš aukščiau žinome, kad jos sprendinių paviršius sudaro torą.

Apie jų sprendinius žinom, kad jie turi gerai suprantamą matematinę struktūrą – jie sudaro abelio grupę - jei paimsime du racionalius sprendinius ir juos sujungsime linija, tada toji vėl kirs kreivę ne daugiau nei viename taške ir to taško koordinatės taip pat bus racionalus lygties sprendinys. Tai reiškia, kad sprendiniams galime apibrėžti „sudėties“ operaciją.

Sudėtis
Jei tiesė liečia kreivę (2 ir 4 atvejai), tai atitinka taško pridėjimą prie savęs (Q+Q ir P+P);
Kai tiesė nekerta kreivės (3 atvejis), laikoma P+Q=0

Taip turint du sprendinius, galima juos sudėti gaunant trečią sprendinį. Be to, pagal Mordelio teoremą (1908 m. pasiūlytą Puankarė ir 1922 m. įrodytą L. Mordelio5)) galite sugeneruoti visus racionalius sprendinius jungiant taškus su baigtiniu taškų kiekiu. Taip yra todėl, kad racionalių sprendinių grupė yra baigtiniu būdu generuota.

Racionalių sprendinių kiekis, būtinas visai grupei sugeneruoti, vadinamas grupės rangu. Nors sveikų skaičių aibė yra begalinė, ji gali būti sukurta pridedant po 1 pradedant 1 (t.y. jos rangas lygus 1). Jei elipsinės kreivės visus sprendinius galima sugeneruoti iš vieno sprendinio, tada jų grupės rangas irgi 1 ir ją galima laikyti kaip ekvivalentišką sveikų skaičių aibei. Jei reikia 2 sprendinių, tai grupė ekvivalentiška (x, y) plokštumai su sveikomis koordinatėmis. Ir t.t.

Tačiau jei rangas lygus 0, tada tėra baigtinis racionalių sprendinių kiekis. Tai ekvivalentiška sveikų skaičių aibei moduliu m (0 .. m-1). Buvo parodyta, kad šiuo atveju daugiausia gali būti 16 sprendinių.

Vidutinis rangas

Tad grupės rangas mums pasako nemažai apie sprendinių struktūrą. Jis duoda pojautį kiek didelė sprendinių grupė. Norėtųsi žinoti, kaip paprastai elgiasi rangas. Nėra žinoma kaip jį nustatyti konkrečiai kreivei, tačiau galime norėti žinoti, kokio rango galime tikėtis paėmę atsitiktinę elipsinę kreivę.

Paskaičiuoti vidurkį betarpiškai negalima, nes yra begalinis kreivių kiekis. Galima kažkaip sutvarkyti skaičius ir tada paimti jų ribą. Bhargava elipsinių kreivių sutvarkymui naudoja kažką, kas vadinama aukščiu. Yra daug kitų būdų elipsinių kreivių dydžio matavimui – ir matematikai tiki, kad bet kuris iš tų matų duos tą patį vidutinį rangą.

Yra teigiama (matematikai mano, kad teiginys teisingas, tačiau nežino, kaip jį įrodyti), kad elipsinių kreivių rangas yra 1/2 (t.y., kad beveik pusė lygčių turi rangą 0, o kita beveik pusė – 1; yra lygčių su kitais rangais, bet jų yra labai nedaug).

Tai neblogai, nes anksčiau net nežinota, ar tas rangas baigtinis. Bhargava prisipažino, kad pradžioje nenorėjo tuo patikėti, nes kompiuteriniai bandymai nerodė tokios tendencijos.

Pakeliui į milijoninę premiją?

Pirmas teorinis rezultatas dėl vidutinio rango atėjo 1992 m., kai buvo parodyta, kad jei apibendrinta Rymano hipotezė ir Birch ir Swinnerton-Dyer teiginys yra teisingi (beveik visi matematikai tuo tiki – ir jie abu yra Tūkstantmečio problemų sąraše), tada vidutinis rangas yra apribotas.

Kai Bhargava apie tai pradėjo galvoti 2003 m., matematikai buvo pasiekę kai kurių rezultatų: naujausias 2007 m. įrodyta, kad rangų vidurkio riba yra 1,79. Visi minėti rezultatai remiasi tais neįrodytais teiginiais. Bharhava norėjo žinoti, ar galima kažką pasakyti jais nesiremiant - ir kartu su A. Šankaru6) įrodė, kad vidutinis rangas mažesnis 0.89.

Parodęs, kad vidutinis rangas mažesnis už 1, jie parodė, kad didelė dalis elipsinių kreivių privalėjo turėti rangą 0 (iš tikro, ji yra apie 11%). Tai reiškia, kad didelė dalis elipsinių kreivių turi baigtinį skaičių racionalių sprendimų. Taip pat, kartu su Ch. Skinner’iu7) parodė, kad didelė dalis elipsinių kreivių turi rangą lygų 1, taigi turi begalinį kiekį sprendinių.

Nors ir nesiremdami Birch ir Swinnerton-Dyer teiginiu, Bhargava su kolegomis pateikė stiprų pagrindimą ir tam pačiam teiginiui. Straipsnyje su Skinner‘iu7) ir Wei Zhang8) (2014) parodoma, kad 66% visų elipsinių kreivių tenkina tą teiginį. Tai jau postūmis jo įrodymui. Taigi, jau esame pusiaukelėje jo įrodymui - ... ir link milijoninės premijos.


Papildai

1) Trygvė Nagelis (Trygve Nagell, 1895-1988) - norvegų matematikas, žinomas savo darbais skaičių teorijos Diofanto lygčių srityje. 1931-62 m. buvo Upsalos un-to prof. (1931 m. priėmęs Švedijos pilietybę). Elipsinių kreivių srityje jo vardas suteiktas Nagelio-Lutc teoremai (įrodė 1935 m. nepriklausomai nuo prancūzės E. Lutz, 1937 m.).
Straipsnyje minimas rezultatas paskelbtas: T. Nagell. Losning till oppgave nr 2// Nordisk Mat. Tidskr. 30, p.62-64, 1948

2) Karlas Zigelis (Carl Ludwig Siegel, 1896-1981) – vokiečių matematikas, specializavęsis skaičių teorijoje ir dangaus mechanikoje, o taip pat diferencialinių lygčių ir kompleksinio kintamojo funkcijų srityse. 1940 m. emigravo į JAV, į Vokietiją grįžo po karo. 1978 m. gavo Volfo premiją. Straipsnyje minimą rezultatą sveikiesiems skaičiams, kai giminė > 0, pasiekė 1929 m. Kai giminė > 1, šį rezultatą racionaliems skaičiams perdengia Faltingso teorema.

3) Gerdas Faltingsas (Gerd Faltings, g. 1954 m.) - vokiečių matematikas, žinomas darbais algebrinės geometrijos srityje; Fieldso medalio laureatas (1986; už Mordelio hipotezės rodymą). 1985-94 m. buvo Prinstono un-to prof. 1994 m. įrodė Mordelio teiginio apibendrinimą.

4) Algebrinė lygtis - lygtis, kurios forma yra P=Q, kur P ir Q yra polinomai kuriame nors lauke.

5) Luisas Mordelis (Louis Joel Mordell, 1888-1972) – išeivių iš Lietuvos JAV kilmės žydų anglų matematikas, skaičių teorijos pradininkas. 1929 m. priėmė britų pilietybę. Jo vardas siejamas su diofantine lygtimi
y2=y3+k
Ją atitinkanti kreivė vadinama Mordelio kreive.
Pasiekimų pasiekė ir geometrijoje. Be to. 1956 m. jis rado gražų atskirą keturių kubų uždavinio sprendimą. Paskelbė 270 publikacijų, iš kurių svarbiausia – „Diofantinės lygtys“ (1969).

6) Arulas Šankaras (Arul Shankar) - M. Bhargavos doktorantas Prinstone (2012), dirba Toronto un-te. Domėjimosi sritys: skaičių teorija, aritmetinė statistika ir gretimos sritys.

7) Christoferis Skineris (Christopher Skinner, g. 1972 m.) – Prinstono un-to profesorius (nuo 2011 m.), dirbantis skaičių teorijos srityje. Yra vienas iš „Skaičių teorijos žurnalo“ redaktorių. 2010 m. paskelbė apie įrodymą GL (2) atvejui Iwasawa teorijoje.

8) Wei Zhang (g. 1981 m.) – kinų matematikas, dirbantis skaičių teorijos, automorfinių formų ir susijusiose srityse, MIT profesorius (nuo 2017 m.), iki tol buvo Kolumbijos un-to profesorius. Reikšmingas jo darbas kartu su Zhiwei Yun apie L-funkcijų Teiloro išplėtimą. Taip pat padarė pažangą Gross--Zagier teiginio dėl elipsinių lygčių srityje.
Straipsnyje minimas rezultatas paskelbtas: M. Bhargava, C. Skinner, Wei Zhang. A majority of elliptic curves over Q satisfy the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture, 2014

Taip pat skaitykite:
Fieldso medalis
Ar įrodytas abc teiginys?
Tūkstantmečio problemos
Vištų matematiniai pokalbiai
Pagrindinė aritmetikos teorema
Rymano hipotezės paaiškinimas
A. Whitehead. Skaičiavimų prigimtis
Endre Szemeredi darbų esmė „ant pirštų“
Kodėl matematikoje nežinomąjį žymi „x“?
Kombinatorika, polinomai, tikimybės (nauja)
Klasikiniai „neišsprendžiam“ geometrijos uždaviniai
Žodžių anagramos, skaičiai, paprikos ir kt.
Fundamentaliosios matematikos teoremos
Kirmgrauža tarp matematikos sričių
Proveržis skaičiuojant skaidinius
Revoliucija mazgų teorijoje
Didžioji Ferma teorema
Matematikos keliu
Abelio premija