Išmatuojam apskritimą 

Senovėje skritulio kvadratūrą populiarino patys graikai. 5 a. pr.m.e. pabaigoje Aristofenas netgi pokštavo apie tai. Pjesėje „Paukščiai1) “ matininkas Metonas, tuo metu Atėnuose žinomas astronomas, geometras ir inžinierius, naudodamasis brėžiniais, siūlo atėniečiui Pisfeteriui perplanuoti šio tarp dangaus ir žemės įrengtą paukščių miestą:

Čia liniuotę išlenktą priglausiu
Ir skriestuvu atstumą
Išmatuosiu...
Tada tiesę, taip pat su liniuote,
Brėšiu, kad ratas kvadratu virstų.
Čia centre bus turgus,
O į jį ves gatvės tiesiai...

„Tu Talis, iš tiesų! – ironiškai sušuko Pisfeteris ir ginė šalin Metoną. - Eik iš čia geruoju... Čia laikomasi sprendimo – mušti apgavikus“.

Atrodo, kad Aristofanas išreiškė matematikų, suabejojusių skritulio kvadratūros uždavinio išsprendžiamumu, nuomonę. O Metono pasiūlymas išlenkti liniuotę – tarsi užuomina į kai kurių geometrų bandymus surasti aplinkinius kelius.

Skritulio kvadratinimo istorija pilna suklydimų ir klaidų. Pirmąja auka tapo Anaksogoras, kuris, pagal Plutarchą, vargdamas belangėje, užsiėmė geometrija ir „nubrėžė rato kvadratūrą“. Jei kažkoks sprendimas ir buvo rastas, tai tik apytikslis.

O štai kaip samprotavo sofistas Anaksagoro amžininkas Antifonas: įbrėžkime kvadratą į ratą ir nuosekliai dvigubinkime jo kraštinių skaičių. Kai jis taps pakankamai dideliu, o pačios kraštinės niekingai mažos, daugiakampis sutaps su skrituliu. Kiekvienam taisyklingam daugiakampiui galima nubrėžti jam lygaus ploto kvadratą, o iš to seka galima ir skritulio kvadratūra.

Aišku, kad Antifono sprendimas neatlaiko kritikos. O štai pati idėja priartėti prie skritulio link jo artėjančiais daugiakampiais buvo naudinga – ji tapo pagrindu priartėjimo metodui, kurį 4 a. pr.m.e. išvystė Eudoksas iš Knido. Tiesa, šio mokinys Dinostratas sugebėjo tiksliai sukvadratinti skritulį, tiesa tai atlikta ne mechaniškai (geometriškai), o kreivės judesio pagalba. Tai netenkino geometrų, nes liko nepatenkintas pagrindinis reikalavimas: naudoti tik tieses ir apskritimus. Kvadratinimas Archimedo spirale

Senovės graikai sprendė ir apskritimo ištiesinimo uždavinį: nubrėžti atkarpą, kurios ilgis būtų lygus apskritimo ilgiui. Įdomu, kad šių uždavinių giminiškumą matematikai išsiaiškino ne iš karto. 3 a. pr.m.e. Archimedas įrodė, kad ratas plotu lygus trikampiui, kurių vienas statinių lygus spinduliui, o kitas – ištiesintam apskritimui. Tuo pačiu skritulio kvadratūra susiveda į minėto statinio suradimą. Pats Archimedas tai atliko su jo nagrinėta spirale.

Aistros virė ir tarp mėgėjų. Dar 5 a. filosofas A. Boecijus rašė, kad skritulio kvadratūra išsprendžiama, tačiau sprendimo nepateikė, nes ... jis pernelyg platus. 11 a. magistras Franko iš Lježo2), apie uždavinį sužinojęs iš Boecijaus raštų, jam pašventė traktatą iš 6 knygų, tik nesuvokęs esmės, vietoje braižymų užsiėmė iš pergamento išpjautų figūrų karpymu ir svėrimu.

Atgimimo laikotarpiu uždavinys sudomino ir menininkus, kurie pademonstravo sveiką protą. Taip A. Diureris apsiribojo apytiksliu sprendiniu, o Leonardas da Vinčis sugalvojo genialiai paprastą mechaninį būdą.

16 a. pabaigoje prancūzų istorikas ir filologas Žozefas Skaligeris, vienas iš mokslinės chronologijos pradininkų, išleido darbą, iš kurio visi sužinojo – Archimedas neįveikė skritulio kvadratūros, nes susipainiojo skaičiavimuose – ir šis autorius „ištaisė“ niekieno iki tol nepastebėtas klaidas. Pagal jo paskaičiavimus p=sqrt(10). Netrukus kliuvo ir Euklidui – vienas ispanas, karštas geometrijos gerbėjas, jo teoremų įrodymuose „rado“ net 27 (!) klaidas – ir būtent tose, kurios jam trukdė kvadratinti skritulį.

17 a. antroje pusėje T. Hobsas (su Euklido „Pradmenimis“ susipažinęs tik būdamas 40 m. amžiaus) paskelbė apie 10 skirtingų uždavinio sprendimų, kurie, jo giliu įsitikinimu, yra „teisingi“. Visi bandymai apginti savo „pasiekimą“ ginče su nesutaikomu oponentu matematiku Dž. Valiu, dideliu senovės graikų gerbėju, tik pakenkė Hobso autoritetui (šiek tiek daugiau apie tai >>>>> ).

Po pusės amžiaus Prancūzijoje „kvadratintojai“, mažai nutuokiantys apie geometriją, pasiūlė lažybas galintiems paneigti jų samprotavimus. Taip vienas fabrikantas pralošė 3000 frankų akademikui Fransua Nikoliui3), žinomam geometrui ir aršiam šio uždavinio priešininkui. Galiausiai 1775 m. Paryžiaus akademija atsisakė nagrinėti šio uždavinio „sprendimus“.

Su kvadratintojais pusę amžiaus teko reikalus tvarkyti ir L. Oileriui – jų „sprendimus“ jo patikrinimui ne kartą siuntė Peterburgo ir Berlyno akademijos. Rusų akademikai juos tiesiai vadino kuriozais ir laikė to paties lygio, kaip amžinasis variklis ir filosofinis akmuo. Paprastai Oilerio recenzija užimdavo pusę puslapio, kur būdavo išvardijamos klaidos, tačiau kartais jis išsiplėsdavo apie skritulio kvadratūros bendruosius klausimus ir net patobulindavo svetimus samprotavmus.

Ir kas tik nesiųsdavo „sprendimų“: mechanikas ir gaublių meistras iš Bazelio, Vienos rotmistras, inžinierius-kapitonas iš Bavarijos, bažnyčios seniūnas ir mokytojas iš Holšteino, o tą ilgą sąrašą uždarė Paryžiaus akademijos narys-korespondentas, kurio brošiūra datuota 1780 m.

Uždavinio išsprendžiamumu abejojo Ch. Hiugensas, Michaelis Štifelis4), I. Niutonas ir L. Oileris, o pirmuoju tai įrodyti 1667-ais ėmesi škotas Džeimsas Gregoris5). Ir kaip čia neprisiminsi eilučių iš Dantės „Dieviškosios komedijos“:

Kaip geometras, kai mąsto be atvangos,
Kad ratą įrėmintų savo protu,
Neranda sprendimo pagrindų...

Negi Dantė buvo tolimas aiškiaregys!? Juk dabar jau žinome: raktą uždaviniui turėjo algebra, o ne geometrija. Mat p nėra algebrinis skaičius, t.y, nėra jokio daugianario šaknimi, - ką 1882 m. įrodė vokiečių matematikas F. Lindemanas (plačiau žr. p istoriją).


Trumpos biografijos ir paaiškinimai

1) Paukščiai - Aristofano komedija (414 m. pr.m.e.), per Dionisijas vykusiose dramaturgų varžytuvėse užėmusi 2-ąją vietą. Joje du atėniečiai, pavargę nuo intrigų ir teismų, nusprendžia surasti ramų prieglobstį ir patenka į paukščių bendruomenę, tarp debesų įkurdami miestą. Joje gausu kalambūrų, šmaikščių posakių, žargono. Tyrinėtojai joje įžvelgia socialinės utopijos bruožų (idealaus miesto vaizdinys).

2) Franko iš Lježo (m. apie 1083 m.) – prancūzų dvasininkas ir matematikas, užsiėmęs skritulio kvadratinimo uždaviniu (De quadratura circuli, apie 1050 m.). Jam priskiriama sir traktatas apie muziką Quaestiones in musica.

3) Fransua Nikolis (Francois Nicole, 1683-1758) – prancūzų matematikas, mokslo populiarintojas. Du jo darbai (1708 ir 1732) skirti ruletoms (plokščioms kreivėms iškiliuose paviršiuose). Pagarsėjo dideliu priešiškumu jo laikais išpopuliarėjusiems skritulio kvadratūros sprendimams. Analizės srityje išdėstė baigtinių skirtumų teoriją. Taip pat užsiėmė tikimybių teorija, cizoidėmis ir elipsoidais.

4) Michaelis Štifelis (Michael Stifel, 1487-1567) – vokiečių vienuolis, protestantų refrmatorius ir matematikas; vienas iš logaritmų (1553) išradėjas. Paliko pastebimą pėdsaką algebroje. „Arithmetica integra“ (1544) išdėstė neigiamų skaičių, kėlimo laipsniu, įvairių progresijų ir kitų sekų teorijas. Pirmąkart panaudojo terminus „šaknis“ ir „laipsnio rodiklis“ arba „eksponentė“ (lot. exponens).

5) Džeimsas Gregoris (James Gregory, 1638-1675) – škotų matematikas ir astronomas, vienas matematinės analizės pradininkų. Būdamas 25-metis „Optica Promota” (1663) aprašė veidrodinį teleskopą, tačiau Londono meistrai atsisakė jį pagaminti. 1667 m., būdamas Padujoje, pradėjo užsiimti matematine analize. Savo kūriniuose „Tikroji skritulio ir hiberbolės kvadratūra ir “ ir „Bendroji geometrijos dalis“ pateikė daugbę išdėstymų į begalines eilutes, tame tarpe sinusui, kosinusui, trigonometrinių funkcijų logaritmams ir kt. O taip pat aproksimavo skritulio plotą konverguojančia eilute. Taip pat jis įvedė žymenį o be gal mažam dydžiui, kurį vėliau naudojo I. Niutonas. Pateikė e ir p trancendentalumo (negriežtą) įrodymą.

Taip pat skaitykite:
Fraktalai
Matematikos keliu
Pitagoro teorema
Pi keliai ir klystkeliai
Matematika ir muzika
Parabolės lenktas likimas
Matematikos pradžia Lietuvoje
Kirmgrauža tarp matematikos sričių
Mokslininkui nereikia matematikos!
Matematikos filosofinės problemos
Kai kurie pasiekimai 2020 m. matematikoje
Klasikinės „neišsprendžiamos“ geometrinės konstrukcijos
Dž. Birkhofas: matematikas ir meno matuotojas
Iš Antikos ateinantis klausimas: kiek jų?
G. Perelmanas - keistuolio nesuprasi?
Ar nepabandysite išpręsti uždavinį?
Paradoksai sulig dirbtiniu intelektu
Matematikos atgimimas Lietuvoje
Trijų kūnų uždavinys aštuoniukėje
Surasta trilijonas trikampių
Pirminiai skaičiai
Meilės sinusoidė
Ferma taškas
Topologija