Trijų kūnų uždavinys aštuoniukėje    

Praėjus 300 m. po I. Niutono darbo apie planetų judėjimą, trijų kūnų uždavinys vis dar matematikams leidžia padaryti naujų įžvalgų. Jo esmė – turint pradines trijų, vienas kitą traukiančių kūnų koordinates ir judėjimo Aštuoniukė vektorius bei greičius apskaičiuoti tolimesnį kūnų judėjimą. Bendras uždavinio sprendinys yra negalimas dėl chaotiškos kūnų dinamikas, kurią 1890 m. nustatė A. Puankarė. Tačiau praktiniams tikslams (dangaus kūnų judėjimui ar kosminių aparatų trajektorijoms) galimos gana tikslios aproksimacijos. Tačiau kas tinka NASA, netenkina matematikų, kurie tebetyrinėja uždavinį.

Šis uždavinys susieja tris matematikos sritis: topologiją, geometriją ir dinamiką.

Vienas iš R. Montgomery ir A. Chenciner'io sprendinių yra aštuoniukės formos figūra, kuria trys vienodos masės kūnai visąlaik seka vienas kitą. Iš naujo atrastas ir įrodytas 2000-ais. Jį pirmąkart 1993 m. atrado Ch. Moore iš Santa Fe inst-to, naudodamas skaitmeninės aproksimacijos metodą. Pateikus aštuoniukės sprendimą konferencijoje, kiti matematikai ėmė atradinėti N vienodos masės masės orbitas, kuriomis tie kūnai seka vienas kitą – jas italų matematikas C. Simo, jų atradęs visą šimtinę, pavadino „choreografijomis“.

Aštuoniukės ir kitų „choreografijų“ sprendiniai žavi savo estetika ir net įėjo į mokslinę fantastiką kinų rašytojo Liu Cixin'o romane „Trijų kūnų uždavinys“, 2015 m. laimėjusiame Hugo premiją (skaitykite apie kinų literatūrą).


Trijų kūnų uždavinys

Pavadinimas „trijų kūnų uždavinys“ panaudotas 1747 m. kai besivaržantys Ž. d‘Alamberas ir A. Kleras pateikė pirmąsias šio uždavinio analizes Mokslų akademijai.

Bendru pavidalu trijų kūnų uždavinys aprašomas 9-ių antro laipsnio diferencialinių lygčių sistema trijų kūnų, kurių pozicijos apibrėžtos vektoriais ri=(xi, yi, zi) ir gravitaciškai sąveikaujančių su masėmis mi:

2021 m. Jeruzalės Hebrajų un-to mokslininkai, vadovaujami Barako Kolo, pasiūlė naują būdą, leidžiantį nuspėti trijų kūnų sistemos elgesį. Jis turėtų pašalinti esamų metodų trūkumus. Dar nuo A. Puankarė laikų žinomą, kad trijų kūnų uždavinys neturi determinuoto sprendinio. Ir nors kompiuterinis modeliavimas irgi negali duoti ilgalaikės prognozės, 1976 m. mokslininkai padarė išvadą, kad reikia ieškoti statistinio sprendimo.

Vis tik visi statistiniai metodai neatsižvelgia į du aspektus: a) chaotiškas sistemos judėjimas kaitaliojasi su reguliariu ir subyra, kai du kūnai ima suktis apie bendrą masių centrą, o trečias pakaitomis tai artėja, tai tolsta nuo jų; b) neribotas traukos jėgos veikimo diapazonas numato ir begalinę fazinę erdvės apimtį, tad mokslininkai iki šiol darė prielaidą apie „stiprios sąveikos sritį“ ir paskaičiuodami tikimybes atsižvelgė tik į konfigūracijas jos ribose.

Dabar pasiūlyta panaudoti fazinės erdvės apimties srautą, o ne pačią fazinę apimtį. Kitaip sakant, visi taškai (sistemos būsenos) tam tikroje erdvės apimtyje juda (keičiasi būsenos) tarytum sudarymos skysčio tekėjimo srautą. Toks srautas yra ribotas, todėl nekyla fazinės erdvės begalinės apimties problemos ir nebūtina įvesti stiprios sąveikos srities.

Srautais paremta teorija su dideliu tikslumu numato bet kurio kūno pabėgimo tikimybę simuliacijose esant tam tikroms prielaidoms. Spėjama, kad naujas metodas leis išspręsti daugybę astrofizikinių problemų, tame tarpe kompaktiškų kūnų (neutroninių žvaigždžių,  juodųjų skylių) porų susidarymo procesą, kai susidaro gravitacinės bangos.

Lygtys
kur G – gravitacinė konstanta (G=6,67430(15)x1o-11 m3 x kg-1 x s-2); taškas virš r nurodo išvestinę laike.

Ši sistema neturi bendro analitiškai išreikšto sprendinio, tačiau žinoma kažkiek sprendinių atskiriems atvejams. 1892-99 m. A. Puankarė įrodė, kad yra begalinis atskirų sprendinių kiekis. 1767 m. Oileris jau buvo pateikęs pirmuosius 3 sprendinius, o 1772 dar du nustatė Ž. Lagranžas. 1911 m. V.M. MakMilanas atrado naują sprendinį, tačiau be matematinio pagrindimo, kurį tik 1961 m. pateikė rusas K. Sitnikovas. 8-me dešimtm. nustatyta dar viena atskirų sprendinių klasė, 1993 m. Ch. Muras atrado “aštuoniukes” vienodos masės kūnams, po kurių pasipylė daugybė kitų sprendinių periodinėms orbitoms – tiek vienodos masės, tiek nevienodos.

Dar sudėtingesnė situacija sprendžiant trijų kūnų uždavinį bendrojoje reliatyvumo teorijoje (pvz., greta juodosios skylės), kurioje net dviejų kūnų uždavinio sprendinys neturi analitinės išraiškos.

Taip pat skaitykite:
Pirminiai skaičiai
Meilės sinusoidė
Begalybė (pristatymas)
Išmatuojam apskritimą
Pi keliai ir klystkeliai
Parabolės lenktas likimas
Matematikos pradžia Lietuvoje
Nepaprasti Visatos skaičiai:  8
Mokslininkui nereikia matematikos!
Matematikos filosofinės problemos
Kombinatorika, polinomai, tikimybės
Endre Szemeredi darbų esmė „ant pirštų“
Naujos skaičių sistemos siekia atgauti pirminius skaičius
Klasikinės „neišsprendžiamos“ geometrinės konstrukcijos
Ultimatyvi logika: iki begalybės ir toliau
Iš Antikos ateinantis klausimas: kiek jų?
Pitagoro skaičiai per Fibonačio seką
Nepaprasti skaičiai: skaičius 42
Laplasas: biografija ir darbai
Matematika ir muzika
Matematikos keliu