Matavimų sąvoka iš pirmo žvilgsnio atrodytų esanti akivaizdi. Ant stiebo tupinti nejudanti varna nulinio matavimo pavyzdys; žvirblis ant telefono laido – vieno matavimo; ant žemės besirangantis žaltys – dviejų, ir galiausiai erelis danguje – trijų. Tačiau matematikams pateikti išmatavimo apibrėžimą ir išplėsti jų skaičių pasirodė esą gana sunku. Tai užėmė šimtus metų proto ir vaizduotės pastangų.

Senovėje žinojo, kad mes gyvenam trimačiame pasaulyje. Aristotelis rašė: „Didumas to, kas tįsta į vieną pusę, yra linija, kas į dvi – plokštuma, ir kas į tris – kūnas. Ir nėra didumų be šių, nes visi išmatavimai yra tik šie“.

Ir vis tik matematikai, be kitų, mintyse turėjo daugiau matavimų. Kaip galėtų atrodyti ketvirtasis matavimas – kažkaip statmenas mūsų trimačiam pasauliui.

Yra vienas populiarus būdas: įsivaizduoti, kad mūsų gyvenamas pasaulis yra dvimatė plokštuma trimatėje erdvėje. Tada trimatis rutulys, esantis virš mūsų plokštumos, mums nematomas. Tačiau jei jis krenta ir krisdamas paliečia mūsų plokštumą, išvystame tašką. Jam toliau krentant matome, pradžioje didėjantį, o vėliau mažėjantį skritulį, kuris galiausiai dingsta, kai rutulys visiškai išeina iš mūsų plokštumos. Taigi dvimačio pasaulio gyventojas gali matyti tik trimačio kūno pjūvį plokštumoje:

Patempdami melsvas struktūras į violetines galime gauti įvairių matavimų kubus, taipogi ir teseraktą

Analogiškai būtų, jei keturmatis rutulys kirstų mūsų trimatį pasaulį – pradžioje atsirastų taškas, o tada mažytis rutuliukas, kuris pradžioje didėtų, o vėliau imtų mažėti, kol visai išnyktų. Tačiau yra ir kitų įsivaizdavimo būdų.

Pvz., pabandykim vizualizuoti keturmatį kubą (teseraktą), konstruodami jį. Pradedame tašku, kurį ištempiame viena kryptimi gaudami liniją. Tada tą liniją tempiame kryptimi, statmena ankstesnei, gaudami kvadratą. Šią analogiškai tempiant gauname kubą. Tada lygiai taip pat ištempdami kubą ketvirta kryptimi gausime teseraktą (žr. piešinį dešinėje).

O dar galime išlankstyti kubą į 6 šonus, o tada išlankstyti trimates keturmačio kubo ribas gaudami 8 kubus, kaip S. Dali^*) pademonstravo savo paveiksle „Nukryžiavimas“ (Corpus Hypercubus, 1954).

Visa tai suteikia intuityvų pojūtį, kad abstrakti erdvė yra n-matė, jei turime n laisvės laipsnių arba jei joje taško nusakymui reikia n koordinačių. Ir vis tik matematikai nustatė, kad išmatavimai yra žymiai sudėtingesni, nei leidžia tokie supaprastinti apibūdinimai.

Formalios aukštesniųjų matavimų studijos prasidėjo 19 a. ir per kelis dešimtmečius tapo gana gausiomis. 1911 m. bibliografija turi 1832 nuorodas į geometriją n-čiuose matavimuose. Gal dėl to ties 20 a. slenksčiu visuomenė buvo susižavėjusi 4-uoju matavimu. 1909 m. „Scientific American“ konkursas esė pavadinimu „Kas yra ketvirtasis matavimas?“ su 500 dolerių prizu sulaukė 245 dalyvių. Nemažai dailininkų, tame tarpe P. Pikaso ir M. Diušanas, į savo kūrinius įtraukė 4-ojo matavimo idėjas. Bet tuo metu matematikai aptiko, kad problema yra formalus išmatavimo apibrėžimas (kuo skiriasi n ir m euklidinės erdvės – tai buvo matavimo invarianto problema).

G. Kantoras plačiausiai žinomas nustatymu, kad begalybės yra skirtingų dydžių (arba kardinalumų). Ir jei jis pradžioje manė, kad atkarpa (ją sudarančių taškų aibė), kvadratas ir kubas turi būti skirtingų kardinalumų, tai 1877 m ir. jis nustatė vienas su vienu atitikmenį tarp taškų atkarpoje ir taškų kvadrate (ir tuo pačiu visų matavimų kubams), - t.y., kad jie visi yra to paties kardinalumo (nepaisant skirtingų matavimų). Jis parašė R. Dedekindui: „Matau, bet netikiu“.

Tačiau Dedekindas nurodė, kad Kantoro funkcija labai netolydi – ji suskaido atkarpą į be galo daug dalių, o vėliau jas surenka į kubą. Tai nėra tai, ko norėtume koordinačių sistemoje; ji pernelyg nesutvarkyta, kad būtų naudinga. O tada 1890-ais Džiuzepė Peano atrado, kad vienmatę kreivę galima taip susukti (išlaikant jos tolydumą), kad ji užpildytų kvadratą plokštumoje. Tai buvo pirmoji erdvę užpildanti kreivė – bet ir Peano pavyzdys nebuvo geru pagrindu koordinačių sistemai, nes kreivė kerta save begalinį skaičių kartų.

Ir tik 1912 m. po daugelio nepasisekusių bandymų, L.E.J. Braueriui pavyko panaudoti kai kuriuos savo metodus matavimo invariantiškumo sprendimui. Iš esmės, tai jis įrodė, kad yra neįmanoma [atalpinti aukštesnio matavimo objektą jo mažesniame matavime arba mažesnio matavimo objektą į jo aukštesnio matavimo analogą neskaidant į dalis (kaip darė Kantoras) arba neleidžiant jam kirsti savęs (kaip darė Peano). Ir maždaug apie tą laiką tiek pats Braueris, tiek kiti pateikė įvairių griežtų išmatavimo apibrėžimų.

Nors L. Braueris išmatavimo sąvokai suteikė griežtą matematinį pagrindimą, tai nepadėjo mūsų intuicijai, kuri liko prie mums įprastos 3D erdvės. Pvz., tarkim, kad 2ⁿ sferas, kurių spindulys 1, talpiname į n-matį kubą, kurio briaunos ilgi yra 4. O tada į jo centrą įdedame dar vieną, liečiančią visas kitas sferas. n didėjant, didėja ir centrinė sfera, nes jos spindulys yra – 1. Ir tada pribloškia faktas, kad kai n >= 10, toji sfera neišsitenka kube ir išlenda už jo ribų.

Neįtikėtinos daugiamatės erdvės realijos kelia problemas statistikoje ir duomenų analizėje, kurios bendrai vadinamos „daugiamatiškumo prakeikimu“. Imties reikšmių kiekis, būtinas daugeliui statistinių metodų, didėja eksponentiškai didėjant išmatavimams. Be to, ir reikšmės grupuosis rečiau.

Istorija nesibaigė su L. Braueriu. Vos po kelių metų Feliksas Hausdorfas sukūrė apibrėžimą, kuris, gerokai ateityje, pasirodė esąs esminis matematikai. Intuityviai apie jo metodą galimą mąstyti taip: jei mes keičiame d-matį objektą k kartų, jo apimtis padidėja k^d kartų. Viena nelaukta Hausdorfo apibrėžimo pasekmių yra tai, kad objektai teturi sveikus išmatavimus. Reikėjo kelių dešimtmečių, kol B.B. Mandelbrotas nepaklausė: „Kokio ilgio Britanijos pakrantė?“ ji gali būti taip išraižyta, kad jos neišmatuosi jokia liniuote – ir kuo trumpesnė liniuotė, tuo ilgiau trunkantis ir tikslesnis matavimas. Mandelbrotas tvirtino, kad Hausdorfo dimensija suteikia būdą kiekybiškai įvertinti tą „raižytumą“ – ir 1975 m. sukūrė terminą „fraktalas“, skirt be galo sudėtingų formų nusakymui.

Norint suprasti, kaip galėtų atrodyti ne sveiko skaičiaus išmatavimas, paimkime Kocho kreivę^**), kuriamą iteraciškai. Pradedame tiesės atkarpa. Kiekvieno žingsnio metu vidurinį trečdalį kiekvieno segmento dalį ir pakeičiame ją dviem segmentais, kurių ilgiai kaip pašalinto segmento. Kartodami tai be galo gausime Kocho kreivę. Į ją atidžiai įsižiūrėjus, pamatysime, kad ją sudaro 4-ios sekcijos, identiškos visai kreivei, tačiau tesančios trečdalio dydžio. Tad jei kreivę padidinsime 3 kartus, gausime 4-as originalios kreivės kopijas. Tai reiškia, kad jos Hausdorff‘o dimensija d tenkina 3^d = 4. Tad d = log₃(4) = 1,26. Ši kreivė nėra užpildanti visą erdvę (kokia buvo Peano kreivė), tačiau ji nėra pilnai dvimatė, tačiau kartu ir daugiau nei vienmatė.

O štai laikas, kaip ketvirtasis matavimas, visuomenės sąmonėje įsitvirtino 1919 m., kai Saulės užtemimas leido patvirtinti bendrąją reliatyvumo teoriją ir Minkovskio erdvėlaikį. Šių dienų matematikai nuolat išeina už patogių trijų matavimų ribų. Kartais tai įvyksta įtraukiant papildomus fizikinius matavimus (kaip stygų teorijoje), tačiau dažniau jie darbuojasi abstrakčiai, neatsižvelgdami į realias erdves. Kai kurie jų tyrinėjimai yra geometrinio pobūdžio, pvz., kaip Maryna Viazovska, kuri 2016 m. atrado efektyviausią būdą supakuoti sferas 8-matėje ir 24-matėje erdvėse. Kartais panaudojami ne sveiko skaičiaus matavimai, kai fraktalai nagrinėjami įvairiose srityse: fizikoje, biologijoje, finansuose ir vaizdų apdorojime. Ir galiausiai, didžiųjų duomenų eroje, kuriami daugiamačiai žmonių, vietų, įvairių dalykų profiliai.

^*) Salvadoras Dali (tikr. vardas Salvador Felip Jacint Dali Domenech, 1904-1989) – ispanų dailininkas, tapytojas, grafikas ir skulptorius, atstovavęs siurrealizmą. Pirmoji personalinė paroda surengta 1919 m. Tada studijavo Madrido Dailės akademijoje, kur eksperimentavo su kubizmu bei dadaizmu. 1926 m., prieš pat baigiamuosius egzaminus, buvo išmestas iš Akademijos už akiplėšišką pasakymą, kad niekas neturi pakankamai kompetencijos, kad jį egzaminuotų. 1934 m. Dali susituokė su Gala (Jelena Djakonova), su kuria 1940 m. gyveno JAV. Grįžęs į Ispaniją Dali daugiausiai gyveno Katalonijoje. 1968 m. Galai nuperka Pubolo pilį; po Galos mirties 1982 m. į pilį persikelia ir S. Dali. Visus savo darbus paliko Ispanijai, o testamentu pavedė jį palaidoti taip, kad jo kapu galėtų vaikščioti žmonės – tad jo kūnas įmūrytas į jo teatro-muziejaus Figeraso mieste grindis.
S. Dali sukūrė per 1500 darbų: parašė libretų ir apiformino keletą baletų. Žymiausi dailės darbai: „Ištirpęs laikas“ (1931), „Liepsnojanti žirafa“ (1935), „Pilietinio karo nuojauta“ (1936), „Rudens kanibalija“ (1937), „Miuncheno sutartis“ (1938), „Kristus ant kryžiaus“ (1951), „Paskutinė vakarienė“ (1955) ir kt.

^**) Kocho kreivė, snaigė, žvaigždė arba sala - fraktalinė kreivė, 1904 m. aprašyta Helge von Koch‘o. Kocho kreivė turi begalinį ilgį ir yra niekur nediferencijuojama. Kocho snaigė (arba sala) sudaroma kuriant Kocho kreivę ant lygiakraščio trikampio. Kocho Visą plokštumą galima padengti dviejų dydžių Kocho snaigėmis.

Taip pat skaitykite:
Fraktalai
Begalybė (pristatymas)
Parabolės lenktas likimas
Paslėpti erdvės matavimai
Nepaprasti Visatos skaičiai: 8
Matematikos pradžia Lietuvoje
Matematika - tai žavesys ir tiesa
Mokslininkui nereikia matematikos!
Kombinatorika, polinomai, tikimybės
Kaip įmanomas begalinis klonavimas?
Kaip išgyventi aukštesnius matavimus?
Šokis aplink kontinuumo kardinalumą...
Kantoro aibių teorija ir tikrosios begalybės intuicija
M. Gardneris. Nė vienos pusės neturėjęs profesorius
Dž. Birkhofas: matematikas ir meno matuotojas
Iš Antikos ateinantis klausimas: kiek jų?
Ultimatyvi logika: iki begalybės ir toliau
Pitagoro skaičiai per Fibonačio seką
Matematinė kalba ir simbolika
Revoliucija mazgų teorijoje
Kiek iš viso turime skaičių?
Egzotiškosios hipersferos
Matematikos keliu
Pirminiai skaičiai
Meilės sinusoidė
Topologija