Ar iš viso egzistuoja begalinės aibės? 19 a. tuo klausimu vis dar buvo ginčijamasi. Filosofijoje tai gal vykti ir dabar. Tačiau šiuolaikinėje matematikoje jų buvimas neginčijamas ir tai postuluojama kaip įrodymo nereikalaujanti aksioma.

Tačiau galima konstruoti laipsnines aibes, t.y. aibes (aibei X - P(X)), sudarytas iš visų aibės poaibių. Mažoms aibėms jas konstruoti lengva. Paimkim, pvz., aibę {1, 2} – tada jos laipsninė aibė P{1,2} bus iš 4 elementų: {{},{1},{2},{1,2}}. Tačiau P(X) galia sparčiai auga didėjant aibės X elementų kiekiui. O jei norite palavinti vaizduotę, įsivaizduokite begalinės aibės laipsninę aibę (pvz., natūrinių skaičių aibės N laipsninę aibę (P(N))!?

Viena aišku, P(N) turi daugiau elementų nei N. Bet čia reiktų nukrypti į šalį. Kai begalinių aibių „dydis“ palyginamas pagal tai, ar yra tarp jų bijekcija (t.y. jų elementų abipusis atitikimas), iš pirmo žvilgsnio gali atrodyti, kad tai veda į prieštaravimus, kuriuos po mirties išleistoje knygoje „Begalybės paradoksai“ (1851) išdėstė Bernardas Bolcano¹⁾. Pvz., Euklido postulatas „Visas yra daugiau už dalį“ atrodo savaime aiškus. Tai atrodytų, kad ir jei B yra A poaibis, tai B „dydis“ turėtų būti mažesnis. Tačiau taip nėra begalinėms aibėms, pvz., lyginių skaičių aibė turi tokį pat dydį, kaip visų sveikų skaičių aibė, nes galima sukurti vienas su vienu atitikmenis tarp jų elementų.

19 a. pabaigoje G. Kantoras įrodė, kad ne visos begalinės aibės yra lygios – kad P(X) yra visada didesnio dydžio nei X. Tarp kitų dalykų, iš to seka, kad nėra pačios didžiausios begalybės ir, tokiu būdu, „visų aibių aibės“. Jis taip pat svarstė, ar realiųjų skaičių aibės R dydis yra mažiausiu kardinalinio skaičiumi po aleph-0 (t.y. natūrinių skaičių aibės dydžio). Tai jį atvedė prie kontinuumo hipotezės suformulavimo (daugiau žr. >>>>>). Ją ilgus dešimtmečius bandė „perkąsti“ matematikai, kol galiausiai paaiškėjo, kad jų pastangos bergždžios.

Kardinalumas nėra vienintelė priemonė nusakyti aibės dydį. Pvz., 2D plokštumos ar 3D erdvės poaibiams galime priskirti ilgio, ploto ar tūrio reikšmes. Sudėtingų poaibių ploto paskaičiavimui kartais prireikia kitų priemonių, pvz., integralinio skaičiavimo. Tačiau ir šis metodas netinka kai kuriems poaibiams, tačiau daugelį jų vis tik įmanoma įvertinti skaitine reikšme naudojant Lebego matą²⁾, priskiriantį ilgį, plotą ar tūrį ypatingai sudėtingiems objektams. Tačiau net ir šiuo atveju galima sukonstruoti tokius plokštumos ar erdvės poaibius kad jų neįmanoma išmatuoti.

Apie niekines aibes

Labai svarbi nulinės aibės koncepcija. Dvimatėje erdvėje kreivė (pvz., apskritimas ar atkarpa) yra visad išmatuojama ir jos plotas lygus nuliui – ir todėl ji vadinama nuline aibe. Jos gali būti apibrėžtos ir vienmatėje erdvėje: pvz., {3, 5} matas yra nulinis, tačiau intervalo [3,5] matas (ilgis) yra 2 (pvz., visų racionalių skaičių aibė realiųjų skaičių aibėje yra nulinė aibė, nors jų yra be galo daug). Labai dažnai būna, kad teorema nėra teisinga visiems realiesiems skaičiams, tačiau ji teisinga visiems skaičiams už tam tikros nulinės aibės. Tai paprastai tinka daugeliui matematikos taikymų.

Atvirkščias tvirtinimas neteisingas. Plokštumos poaibis su dideliu kardinalumu nėra nei išmatuojamas, nei didesnio mato. Pvz., visa plokštuma su elementų turi begalinį matą. Tačiau x ašis joje su tuo pačiu kardinalumu turi nulinį dvimatį matą (plotą) ir todėl yra nuline aibe.

Tokios „niekinės“ aibės atvedė prie fundamentalių klausimų apie 10-ies begalinių kardinalių skaičių dydį, kurie ilgą laiką liko be atsakymų. Pvz., koks turi būti minimalus aibės dydis, kad ji nebūtų nuline? Visų nulinių aibių šeima žymima N, o mažiausia nenulinės aibės galia - non(N). Iš čia seka, kad < non (N) £ , nes bet kuri dydžio aibė yra nuline aibe, o visa plokštuma turi dydį ir nėra nuline. Tad < non (N) £ , nes yra mažiausiu nelyginiu kardinaliu skaičiumi. Laikant kontinuumo hipotezę teisinga, turime non (N) = , nes šiuo atveju = .

Galime apibrėžti naują kardinalinį skaičių add(N), kad galėtume atsakyti į klausimą: koks yra minimalus nulinių aibių skaičius, kurių sąjunga yra nenulinė aibė? Tasai skaičius mažesnis arba lygus non(N). Jei A yra nenulinė aibė, turinti daug non(N) elementų, visų A vienaelemenčių poaibių sąjunga yra nenulinė aibė A. Tačiau reikalavimą gali tenkinti ir mažesnis poaibių kiekis. Tad add(N) £ non (N).

Kardinalinis skaičius cov(N) yra mažiausias nulinių aibių, kurių sąjunga sudaro visą plokštumą, kiekis. Nesunkiai matosi, kad add(N) £ N), nes kaip minėta, plokštuma nėra nulinė aibė. Taip pat galime įvesti cof(N) – mažiausią galimą N bazės X dydį; t.y. nulinių aibių aibė X, įtraukianti kiekvienos A nulinės aibės viršaibį B. Šie begaliniai kardinaliniai skaičiai - add(N), cov(N), non(N) ir cof(N) – yra svarbios nulinių aibių šeimos charakteristikos.

Kiekvienai iš tų 4-ių charakteristikų gali apibrėžti analogišką charakteristiką, panaudojant kitokią mažų arba nereikšmingų aibių koncepciją – „menkumą“. Menka aibė – esanti suskaičiuojamoje niekur netankių aibių (tokių, kaip apskritimo plokštumoje ilgis arba baigtinį ar suskaičiuojamą tokių apskritimų kiekis) sąjungoje. Vienmatėje erdvėje natūriniai skaičiai sudaro menką aibę realiųjų skaičių tiesėje, kai likusieji realieji skaičiai sudaro nulinę aibę.

Tuo pačiu, atitinkamos kardinaliosios charakteristikos gali būti apibrėžtos menkų aibių šeimai: add(M), non(M), cov(M) ir cof(M). Kontinuumo hipotezėje visos charakteristikos vienodos ir yra, būtent, – kaip nulinėms, tiek menkoms aibėms. Iš kitos pusės, panaudodami P. Koeno³⁾ išvystytą „prievartinį“ (forsinimo) metodą, Kenneth Kunen’as⁴⁾ ir Arnold Miller’is⁵⁾ sugebėjo 1981-ais parodyti, kad ZFC aksiomų sistemoje neįmanoma įrodyti teiginio add(N) = add(M). Kitaip sakant, nulinių ir menkų aibių, kurias reikia apjungti siekiant gauti „neniekinę“ aibę, kiekiai yra neįrodomai lygūs.

Prievartinis metodas („forsavimas“) – tai matematinių visatų konstravimo metodas. Matematinė visata – tai ZFC aksiomas tenkinantis modelis. Norint parodyti, kad teiginys T nepaneigiamas ZFC, pakanka surasti visatą, kurioje leistina ir ZFC, ir T. Lygiai taip pat, norint parodyti, kad T neįrodomas ZFC pagalba, pakanka rasti visatą, kurioje ZFC tenkinamas, o T negalioja.

Matematinės visatos su nepaprastomis savybėmis

Kunenas ir Mileris tą metodą naudojo matematinės visatos, tenkinančios add (??) < add (?) sukonstravimui. Tame modelyje reikia menkesnės nei nulinė aibė, tad ZFC ribose neįmanoma įrodyti add (??) < add (?). Tuo tarpu Tomek Bartoszyński⁶⁾ po 3 m. įrodė, kad ZFC pagalba gali būti įrodyta nelygybė add (N) £ add (M). Tai rodo asimetriją tarp dviejų mažybių; tačiau toji asimetrija nepastebima kontinuumo hipotezės atveju.

Taigi apibendrinant: add(N) £ add(M) yra įrodoma, tačiau nei add(N) = add(M), nei add(N) < add(M) nėra įrodomos. Tai toks pat efektas kaip su kontinuumo hipoteze – trivialu įrodyti, kad £ , tačiau nei < , nei < neįrodomos.

Prie tų kardinalių skaičių dar yra dvi svarbios kardinalios charakteristikos ir , priskiriamos realiųjų skaičių dominuojančioms funkcijoms. Dviem tolydžioms funkcijoms f ir g, f vadinama dominuojama funkcijos g, jei visiems pakankamai dideliems x tenkinama nelygybė (x) < g(x). Pvz., kvadratinė funkcija g (x) = x² visad dominuoja virš bet kurios tiesinės funkcijos – tarkim, f (x) = 123x + 500.

Kardinalus skaičius apibrėžtas kaip mažiausias įmanomas tolydžių funkcijų aibės dydis, pakankamas dominavimui virš bet kurios įmanomos tolydžios funkcijos. Šio apibrėžimo variantas pateikia kardinalinį skaičių – mažiausią šeimos B dydį su savybe, kad neegzistuoja tolydi funkcija, dominuojanti visoms B funkcijoms. Galima įrodyti, kad 1 £ £ £ .

Visos nelygybės su 12 kardinalinių skaičių apibendrintos šioje diagramoje, kurią įvedė britas David Fremlin‘as pavadindamas ją savo kolegos lenko Jacek Cichoń‘o⁷⁾garbei. Joje mažiau lygu ženklai pakeisti rodyklėmis:

Yra du papildomi santykiai: add(M) yra mažesnė už ir cov(M); panašiai cof(M) yra didesnė už ir non(M). Tad diagrama apima 12-a nesuskaičiuojamų kardinalinių skaičių, iš kurių ne daugiau kaip 10 gali būti skirtingi.

Kiek skirtingomis gali būti begalybės?

Jau kelis dešimtmečius matematikai bandė parodyti, kad nė vienas iš Cichoń'o diagramos santykių negali būti sustiprintas iki lygybės - tam jie sukonstravo daugybę skirtingų visatų, kuriose įvairiais būdais priskyrė du mažiausius nesuskaičiuojamus kardinalinius skaičius ir . Pvz., jie sukūrė visatą, kurioje = add(N) = cov(N) ir = non(M) = cof(M). Tai leido 20 a. 9-me dešimtm. tyrėjams patvirtinti, kad visoms kardinalinių skaičių poroms ZFC aksiomų galima įrodyti tik diagramoje nurodytus ryšius. Po 2010-ųjų buvo atrasta (arba sukonstruota) daugiau visatų, kuriose Cichoń’o diagramoje pasirodė iki 7 skirtingų kardinalinių skaičių.

2019 m. straipsnyje visatos, kurioje Cichoń‘o diagramoje įeina didžiausias galimas skirtingų begalinių verčių skaičius, tai yra 10. Jame panaudota stipresnė aksiomų sistema už ZFC, numatanti, kad egzistuoja „dideli kardinaliniai skaičiai“ - begalybės, kurių egzistavimas neįrodomas vien tik ZFC sistemoje. Po 2 m. pavyko įrodyti rezultatą be šių papildomų prielaidų. Tad įrodyta, kad visi tie 10 kardinalinių skaičių gali būti skirtingi. Tačiau, iš tikro, realiųjų skaičių aibės dydis gali labai varijuoti: 8, 27 ar be galo daug kardinaliųjų skaičių tarp ir .

Ir tai dar ne pasakos pabaiga. Matematikoje nuolat kyla naujų klausimų. 20 a. 5-me dešimtm. buvo surasta daugybė begalinių kardinalinių skaičių tarp ?1 ir kontinuumo. Jų tikslūs tarpusavio santykiai yra nežinomi – ir tai ateities uždavinys. Kitas uždavinys – parodyti, kad galimi kiti 10 skirtingų reikšmių sutvarkymai. Tad gali būti, kad diagramoje atsiras ir naujų nelygybių.

¹⁾ Bernardas Bolcano (Bernardus Placidus Johann Nepomuk Bolzano, 1781-1848) – išeivių iš Italijos Bohemijos matematikas, logikas, filosofas, teologas, žinomas liberaliomis pažiūromis. Iki 1819 m. daugiausia rašė apie filosofiją ir teologiją, oponavo I. Kantui, pasisakė prieš psichologizmą logikoje. Tačiau jo laisvamanybė erzino bažnytininkus ir jį pašalino iš visų bažnytinių pareigų. Tada jis išvažiavo į kaimą ir pasišventė matematikai bei logikai. Nors iš matematikos paskelbė tik 5 nedidelės apimties darbus, juose gerokai aplenkė savo laikmetį. Jis sukūrė pirmąją griežtą realiųjų skaičių teoriją ir buvo vienu aibių teorijos pradininkų. 1830 m. darbe jis rado pirmąsias tolydžias niekur nediferencijuojamas funkcijas. „Wissenschaftslehre“ (1837) pateikė išsamią logikos mokymų apžvalgą. „Begalinio paradoksuose“ (išleistą 1851 m.) suformulavo idėjas artimas Kantoro naiviajai aibių teorijai, įvedė aibės sąvoką ir abipusio atitikimo sampratą. Taip pat jame įrodė teiginį apie ribinio taško buvimą bet kuriai begalinei uždarai aibei.
Taip pat žr. >>>>>

²⁾ Lebego matas Rⁿ erdvėje – mato teorijoje matas, apibendrinantis atkarpos ilgio, figūros ploto ir kūno tūrio sąvokas n-mačiai Euklido erdvei. Jis yra Žordano mato išplėtimas platesniam aibių klasei. Jį 1901 m. įvedė A. Lebegas.

³⁾ Polis Koenas (Paul Joseph Cohen, 1934-2007) – žydų emigrantų iš Lenkijos kilmės amerikiečių matematikas, pasižymėjęs daugelyje matematikos sričių, tačiau geriausiai žinomas įrodymu (1963), kad kontinuumo hipotezė ir pasirinkimo aksioma yra nepriklausomos nuo Zermelo-Fraenkelio aibių teorijos, už kurį gavo Fieldso medalį (1966). 1961-2004 m. dirbo Stanfordo un-te. Pasižymėjo įvairiapuse veikla – grojo fortepijonu ir smuiku, dainavo chore ir švedų folkloro grupėje.

⁴⁾ Kenetas Kunenas (Herbert Kenneth Kunen, 1943-2020) – amerikiečių matematikas, Viskonsino- Madisono un-to profesorius, dirbęs aibių teorijos srityje ir jos taikymuose įvairiose matematikos srityse. Taip pat užsiėmė neasociatyviomis algebrinėmis sistemomis ir naudojo kompiuterines programas teoremų įrodymui jose. Pasiekė rezultatų didelių kardinalinių skaičių srityje. Taip pat žinomas „prievartinio“ metodo ir kombinatorinių konstruktų išvystymu panaudojant ZFC teorijoje.

⁵⁾ Arnoldas Mileris (Arnold W. Miller) – amerikiečių matematikas, Visconsino-Madisono un-to profesorius (1984-2014). Užsiėmė aibių teorija.

⁶⁾ Tomekas Bartočynskis (Tomek Bartoszyński, g. 1957 m.) – lenkų kilmės amerikiečių matematikas, dirbantis aibių teorijos srityje. JAV universitetuose dirba nuo 1986 m. Yra NSF programos vadovas, atsakingas už kombinatoriką, matematikos pagrindus, tikimybių teoriją. Jo pagrindiniai darbai susiję su „prievartiniu“ metodu, ypač jo taikymu realių skaičių aibių teorijai.

⁷⁾ Jacekas Cichonas (Jacek Cichoń, g. 1953 m.) – lenkų matematikas, kompiuterijos mokslininkas, užsiimantis aibių ir mato teorijomis, o taip pat topologija ir realiojo kintamojo funkcijomis. Dėsto Vroclavo un-te ir Technikos un-te. Suprojektavo tiltų valdymo sistemą.

Taip pat skaitykite:
Matematikos keliu
Begalybė (pristatymas)
Pi keliai ir klystkeliai
Matematika ir muzika
Tolydumo sąvokos evoliucija
Kiek iš viso turime skaičių?
Kelionė į matavimų apibrėžimą
Nepaprasti Visatos skaičiai: 8
Alef paslaptis: begalybės paieškos
Mokslininkui nereikia matematikos!
Matematikos filosofinės problemos
Kombinatorika, polinomai, tikimybės
Kaip įmanomas begalinis klonavimas?
Ultimatyvi logika: iki begalybės ir toliau
Endre Szemeredi darbų esmė „ant pirštų“
Kantoro aibių teorija ir tikrosios begalybės intuicija
Klasikinės „neišsprendžiamos“ geometrinės konstrukcijos
B. Raselas. Matematiko košmariškas sapnas
Iš Antikos ateinantis klausimas: kiek jų?
Pitagoro skaičiai per Fibonačio seką
Ar nepabandysite išpręsti uždavinį?
Trijų kūnų uždavinys aštuoniukėje
Galilėjus, Dievas ir Matematika
Meilės ir matematikos ritualai
Matematikos pradžia Lietuvoje
Parabolės lenktas likimas
Jų begalinė išmintis
Meilės sinusoidė
Topologija