Kiek iš viso turime skaičių?

Taip pat skaitykite  Šokis aplink kontinuumo kardinalumą...
Ultimatyvi logika: iki begalybės ir toliau

Apie 50 m. matematikai tikėjo, kad realių skaičių kiekis nežinomas. Naujas įrodymas tvirtina kitaip.

2018 m. spalio mėn. David Asperó¹⁾ atostogavo Italijoje ir žvalgėsi pro automobilio langą, kai jo mergina vežė juos į nakvynės vietą, tai jam nušvito mintis apie trūkstamą žingsnį įrodymui apie begalybės dydžius. Tada matematikas iš JK Rytų Anglijos universiteto susisiekė su Ralf Schindler’iu), su kuriuo jie buvo ieškoję įrodymo, ir jam apsakė savo įžvalgą. Šiam tai pasirodė visai nesuprantama, tačiau vėliau šis duetas tai įvilko į griežtą logiką – įrodymą paskelbiant 2021 m. „Annals of Mathematics“ gegužės numeryje. Jis vienija dvi aksiomas, laikytas konkuruojančiomis dėl begalybės. Jiedu įrodė, viena jų reiškia kitą, todėl padidėja tikimybė, kad viskas, ką jo steigia apie begalybę, yra teisinga.

Labai svarbu tai, kas tas rezultatas sustiprina argumentus prieš 1878 m, iškeltą kontinuumo hipotezę apie begalybės sluoksnius ir aksiomų susiliejimas rodo kad tarp dviejų, pasiūlytų prieš beveik pusantro šimtmečio kaip pirmas ir antras begaliniai dideli skaičiai, randasi dar ir papildomas begalybės dydis.

Tačiau dalis matematikų tebesilaiko kito požiūrio į begalybės matematiką, kuriame išlieka kontinuumo hipotezė – tad kova tarp šių skirtingų požiūrių dar toli gražu nesibaigė.

Begalybių begalybė

Begalybė būna įvairių dydžių. 1873 m. G. Kantoras kaip reikiant supurtė matematiką, kai nustatė, kad „realiųjų“ skaičių yra daugiau - nei „natūralių“ skaičių, tokių kaip 1, 2, 3, ..., nors abiejų jų yra be galo daug. Skaičių aibės dydį Kantoras pavadino galia, - ir natūraliųjų skaičių galia žymima

1877 m. Kantoro rankraštis

. Tokios pat galios yra sveikieji ir racionalūs skaičiai, tačiau Kantoras nustatė, kad realiesiems skaičiams negalima nustatyti vienas su vienu atitikmens natūriniams skaičiams – tad realiųjų skaičių aibės galia didesnė ir ji žymima .

Tačiau begalybės dydžiai tuo nesibaigia. Kantoras nustatė, kad bet kurios begalinės aibės visų jo pogrupių aibė (laipsninė aibė) turi didesnį kardinalumą nei jis. O šio pogrupių aibė vėl didesnį – ir taip susidaro begalybės galių seka. Kantoras dėmesį sutelkė į pirmuosius du laipsnius ir suformulavo kontinuumo hipotezę, tad tarp ir nėra jokios kitos begalybės galios. Tik, deja, jis nesugebėjo jos įrodyti, o 1900 m. D. Hilbertas savo 23 neišspręstų problemų sąraše ją įrašė pirmąja (matyt, manydamas esant lengviausia) - ir ji tebėra neįrodyta iki šiol. Problema kilo 1931 m., kai K. Giodelis atrado, kad bet koks aksiomų rinkinys, kurį panaudoti kaip matematikos pagrindą, neišvengiamai bus neišsamus. Visada bus teiginių, kurių negalima įrodyti jų pagalba. Giodelis iškart įtarė, kontinuumo hipotezė yra būtent toks atvejis: problema, nepriklausanti nuo turimų matematikos aksiomų.

ZFC aksiomų („Zermelo-Fraenkelio aksiomos su išrinkimo aksioma“) yra 10 ir jos pagrindžia beveik visą šiuolaikinę matematiką. Jos apibūdina pagrindines objektų ar aibių kolekcijų savybes. Kadangi praktiškai viską, kas matematiška, galima sudaryti iš aibių (pvz., tuščia aibė {} reiškia 0; {{}} reiškia 1; {{}, {{}}} reiškia 2 ir pan.), aibių taisyklių pakanka visos matematikos įrodymų konstravimui.

1938 m. straipsnyje Giodelis įrodė, kad negalima naudoti ZFC aksiomų kontinuumo hipotezės paneigimui. O 1963 m. amerikiečių matematikas Paul Cohen‘as įrodė priešingą dalyką - jų taip pat negalima panaudoti jos įrodymui. Šiedu įrodymai reiškia, kad kontinuumo hipotezė nepriklauso nuo ZFC aksiomų.

Ne tik kontinuumo hipotezė, bet ir dauguma kitų klausimų apie begalines aibes taip pat yra nepriklausomi nuo ZFC. Tai kartais aiškinama, kad į šiuos klausimus nėra atsakymo, tačiau dauguma aibių teoretikų mano, kad tai yra giliai klaidinga nuomonė. Jie mano, kad kontinuumas yra tikslaus dydžio, o mums tiesiog reikia naujų logikos įrankių, kad išsiaiškintume, koks jis - ir jais bus naujos aksiomos. Tad jie ieško papildymo ZFC aksiomoms.

Tuo tarpu Giodelis manė, kad kontinuumo hipotezė klaidinga, t.y, kad realių skaičių yra daugiau, nei manė Kantoras. Jis dar 1947 m. tai numatė, kai rašė: „galiausiai bus įvesta naujų aksiomų, kurios leis paneigti Kantoro teiginį“.

Taip atsirado dvi konkuruojančios tam skirtos aksiomos ir dešimtmečius jos laikytos logiškai nepriklausomomis.
Norint jas suprasti, turime grįžti prie 1963 m. P. Coheno darbo, kuriame jis sukūrė techniką, vadinamą forsavimu. Pradėdamas nuo matematinio modelio, apimančio realius skaičius, jis jį išplėtė, įtraukdamas naujų realiuosius skaičius. Netrukus nustatyta, kad, atsižvelgiant į procedūros specifiką, forsavimas leidžia pridėti kiek norima daug realiųjų skaičių, tarkim ar . Matematikai netgi apibendrino šį metodą, kad sukurtų įvairius kitus galimus objektus, kurių kai kurie logiškai nesuderinami.

Problemos sprendimui matematikai pasiūlė įvairias „forsavimo aksiomas“ – taisykles, nustatančias realų matematinių objektų, sukurtų Cohen‘o metodu, egzistavimą. 1988 m. Menachem Magidor, Matthew Foreman ir Saharon Shelah tai išvystė iki loginės pabaigos suformuluodami Martino maksimumą, - kad viskas, ką galite sugalvoti bet kokios forsavimo procedūros pagalba, bus realia matematine esybe, jei tik procedūra tenkina tam tikras sąlygas.

Nepaisant Martino maksimumo visos apimties kontinuumo galia padidėja tik vienetu, t.y. tik iki . Tačiau Martino maksimumas pasirodė esąs geru įrankiu begalinių aibių savybių tyrinėjimui. Jis išpopuliarėjo kaip ZFC išplėtimas. Tačiau 20 a. paskutinį dešimtmetį W. Woodin‘as pasiūlė kitą įtikinamą aksiomą, kuri taip pat neigia kontinuumo hipotezę ir susieja kontinuumą su – ją pavadino (*) – žvaigždute, nes ji „tarsi ryškus šaltinis – struktūros, šviesos šaltinis“.

(*) yra aibių modelis, tenkinantis 9-ias ZF aksiomas ir apibrėžtumo aksiomą vietoj išrinkimo aksiomos. Apibrėžtumas ir išrinkimas logiškai prieštaringos, todėl (*) ir Martino maksimumas atrodė nesuderinamais. Tačiau Woodin‘as išvystė forsavimo procedūrą, kurią išplėtė modelį į platesnį, kuris suderinamas su ZFC, ir kuriame galioja (*) aksioma.

(*) yra tokiu patraukliu, nes leidžia matematikams formuluoti teiginius tokia forma: „Visiems X egzistuoja Y, kuriam galioja Z“. Vienu tokių teiginių būtų „Visoms realiųjų skaičių aibėms egzistuoja realieji skaičiai, nepriklausantys toms aibėms“ – o tai yra kontinuumo hipotezės neigimas.

Tačiau dviejų patrauklių aksiomų buvimas sukėlė nerimą – kurią jų pasirinkti?! Jei viena prieštarauja kitai, tai pasirinkus vieną, prarasime naudingas pasekmes sekančias iš kitos. Tektų ieškoti, kodėl viena jų teisinga, o kita klaidinga. Tačiau būtent naujas įrodymas parodė, kad Martino maksimumas ++ (techninė jo atmaina) numato ir (*).

Kelias iki įrodymo

Prieš 20 metų Asperó ir Schindler‘is buvo jaunais tyrinėtojais Vienos institute. Jų įrodymas subrendo po kelerių metų, kai Schindler’is perskaitė ranka rašytą aibių teoretiko Ronaldo Jenseno³⁾ rankraštį. Jensenas išrado L-forsavimo techniką. Schindleris buvo sužavėtas ir paprašė savo studento pabandyti jį toliau plėtoti. Po 5 m., t.y. 2011 m., jis Aspero supažindino su L-forsavimu. Asperó iškart pasiūlė, kad jie galėtų pasinaudoti šia technika, kad (*) išvestų iš Martino maksimumo ++. 2012 m. jie paskelbė, kad turi įrodymą, tačiau Woodin’as iškart jame rado klaidą. Tolesniais metais jie dažnai peržiūrėdavo tą įrodymą, tačiau kaskart jame kažko vis pritrūkdavo.

Jų planas, siekiant išvesti antrąją aksiomą iš pirmosios, buvo sukurti forsavimo procedūrą, panašią į L-forsavimą, su kuria būtų sukurtas objekto tipas, vadinamas liudininku. Šis liudytojas patikrina visus (*) formos teiginius. Kol forsavimo procedūra atitinka būtiną sąlygą, Martino maksimumas ++ nustatys, kad liudytojas egzistuoja. Ir tokiu būdu ir (*).

Tačiau jie nesuprato, kaip garantuoti, kad jų forsavimo procedūra atitiks pagrindinį Martino maksimumo reikalavimą. Tačiau Asperó nušvitimo automobilyje 2018-ais jis suprato: jie gali suskaidyti forsavimą į rekursinę forsavimų seką, kurioje kiekvienas iš jų atitinka būtinas sąlygas.

Martino maksimumo ++ ir (*) suartėjimas sukuria tvirtą pagrindą begalybėms, kurių kontinuumo galia lygi . Vis tik struktūros su dideliu aibių kiekiu atvaizdavimas į žymiai mažesnę atrodo keistai, kas kelia kai kurias abejones. Todėl ir nenuostabu, kas nuo (*) atšalo ir Woodin’as. Prieš 25 m. jis manė, kad kontinuumo hipotezė klaidinga, tačiau prie kokią 10 m. jis persigalvojo – ir kad forsinimas ir (*) yra pasmerkti. Vis tik jis laiko tą įrodymą vertą „Analų“. Tačiau jis pats 2019 m. turėjo įžvalgą apie naują problemą.

Jis įsivaizdavo stipresnius (*)+ ir (*)++ variantus, kurie taikomi realių skaičių visų poaibių aibei. (*)+ ir (*)++ gerokai pranašesnis už (*), nes leidžia pateikti tokios formos teiginius „Egzistuoja realių skaičių aibė ...“ ir taip apibrėžti bei analizuoti bet kokių realių skaičių aibių savybes. Žinoma, kas (*)+ prieštarauja Martino maksimumui. 2021 m. kovo mėnesį imtame platinti įrodyme jis parodė, kad (*)+ ir (*)++ yra ekvivalentiškos, o tai reiškia, kad ir (*)++ prieštarauja Martino maksimumui. Keli matematikai tebetikrina Woodin‘o įrodymą.

¹⁾ Deividas Aspero (David Aspero) – anglų matematikas, dirbantis aibių teorijos srityje, Rytų Anglia un-to profesorius. Daugiausia dėmesio skiria forsinimui ir jo aksiomoms, dideliems kardinaliniams skaičiams, begalinei kombinatorikai ir sąveikai tarp tų sričių.

²⁾ Ralfas Šindleris (Ralf Schindler) – vokiečių matematikas, dirbantis aibių teorijos srityje, Miunsterio un-to profesorius. Paskutiniu metu dėstė Fudano un-te Kinijoje.

³⁾ Ronaldas Jensenas (Ronald Bjorn Jensen, g. 1936 m.) – Vokietijoje gyvenantis amerikiečių matematikas, žinomas darbais matematinės logikos ir aibių teorijos srityse. Jis išnagrinėjo aksiomatinę aibių teoriją, ypač didelių kardinalinių skaičių, ir vidinius modelius, tokius kaip Giodelio konstruktyvinė visata.

Taip pat skaitykite:
Matematikos keliu
Begalybė (pristatymas)
Pi keliai ir klystkeliai
Matematika ir muzika
Tolydumo sąvokos evoliucija
Nepaprasti Visatos skaičiai: 8
Alef paslaptis: begalybės paieškos
Mokslininkui nereikia matematikos!
Šokis aplink kontinuumo kardinalumą...
Matematikos filosofinės problemos
Kombinatorika, polinomai, tikimybės
Kaip įmanomas begalinis klonavimas?
Ultimatyvi logika: iki begalybės ir toliau
Endre Szemeredi darbų esmė „ant pirštų“
Kantoro aibių teorija ir tikrosios begalybės intuicija
Klasikinės „neišsprendžiamos“ geometrinės konstrukcijos
B. Raselas. Matematiko košmariškas sapnas
Iš Antikos ateinantis klausimas: kiek jų?
Pitagoro skaičiai per Fibonačio seką
Ar nepabandysite išpręsti uždavinį?
Trijų kūnų uždavinys aštuoniukėje
Galilėjus, Dievas ir Matematika
Jų begalinė išmintis
Meilės sinusoidė
Topologija