Kaip įmanomas begalinis klonavimas?

Įsivaizduokite du draugus, vaikštinėjančius po miškus. Jie praalksta, tačiau teturi tik vieną obuolį, tad nusprendžia jį pasidalyti. Tačiau pusės obuolio nepakaks alkiui numalšinti. Tada vienas iš jų prisimena vieną keisčiausių idėjų, kokią yra girdėjęs – kad matematikoje įmanoma, iš principo, iš vieno obuolio gauti du.

Tai vadinama Banacho-Tarskio paradoksu - pagal 1)S. Banachą ir A. Tarskį, pasiūliusiems šį paradoksą 1924 m. Jie parodė, kad galima kietą trimatį kūną supjaustyti taip, kad paskui iš „atraižų“ būtų atstatomi [jau] du identiški pradiniam kūnui objektai – kas atrodo visiškai neintuityvu.

Paradoksas kilo iš sunkiausiai suvaldomos koncepcijos matematikoje – begalybės. Ši yra tarsi skaičius, tačiau elgiasi skirtingai nei skaičius. Pvz., sudėję dvi begalybes gausite tą pačią begalybę. Tačiau tai nereiškia, kad visos begalybės yra vienodos. Matematikai įrodė, kad kai kurios jų didesnės už kitas (pvz., realiųjų skaičių aibė [nesuskaičiuojama] yra didesnė nei natūrinių skaičių aibė [suskaičiuojama] – ką 1891 m. įrodė G. Kantoras) – kitaip sakant, jų kardinalumai yra skirtingi. Tačiau minėtas Kantoras taip pat įrodė, kad begalinis tiesės skaičių kiekis yra to paties kardinalumo kaip sferą užpildančių taškų kiekis.

Tad Banachas ir Tarskis parodė, kad vieną sferą galima paversti dviem padalijant nesuskaičiuojamą taškų aibę į nesuskaičiuojamą begalinį kiekį suskaičiuojamų begalinių aibių. Tas padalijimas atliekamas labai specifine padalijimo procedūra. Sferos atskyrimas

Vienos tų aibių atskyrimui paimkime pradinį (bet kurį) tašką ant sferos. Tada pasirinkite du kampus, kurių reikšmės yra iracionalūs skaičiai. Tada imate sukti sferą taip, kad negrįžtumėte atgal) – pirmuoju kampu N-S kryptimi, o antruoju kampu – E-W kryptimi. Tada gausite naują tašką. Tada vėl sukite tais kampais (tik– gausite trečią tašką ir t.t., kol po begalinio kiekio operacijų gausite begalinę suskaičiuojamą taškų aibę.

Ši aibė turi porą esminių savybių: a) į ją niekad nebus dukart įtrauktas tas pats taškas (dėl kampų iracionalumo); b) š aibė yra suskaičiuojama (bet kuriam taškui galite priskirti sukimo eilės numerį). O toliau kartojant tą pačią procedūrą nuo kitų sferos taškų, gausime nesuskaičiuojamą sferos minėto tipo padalijimų kiekį.

Kai pasigaminome visas tas aibes, pradėkime tvarkyti jų taškus skirstydami į grupes. Pirmąsias 4 sudarys taškai po pasukimo iki gaunant naują tašką, o 5-oji įtrauks centrinį sferos tašką ir jos polių taškus. 6-oji surinks visus pradinius taškus.
Atskirtų taškų aibės

Visgi, sujungę visas šias taškų grupes, jūs gausite vieną sferą, o ne dvi, ko norėtume. Kad ją padubliuotų, jie paėmė Felix Hausdorff’o2) idėją, leidusią jiems pasukti visus taškus vienoje grupėje gaunant naują taškų aibę, didesnę nei ji buvo prieš ją pasukant. Paimkime, pvz., grupę iš paskutinio pasukimo į rytus. Tada ją pasukime į vakarus – tai anuliuos visus ankstesnius pasukimus ir transformuos grupę į aibę, kuris buvo prieš pradinių aibių formavimą (t.y. padubliuos pietų, šiaurės, pradinių taškų ir pačios rytų grupės taškus) – arba kitaip sakant, nauja grupė turės ir seną, ir naują turinį.

Begalybės prigimtis daro tai įmanoma. Visos rytų grupės pasukimas į vakarus panaikina visus paskutinius pasukimus į rytus. Tai kas lieka?
Dubliavimai

Taip mes padubliavome 3 grupes (šiaurės, pietų ir pradinių taškų). Liko padubliuoti likusias 3-is: tam tereikia šiaurės grupę pasukti į pietus.

Belieka padubliuoti centrinius taškus ir polius – tai atliekama procesu, panašiu į Hilberto viešbučio apgyvendinimą (žr. >>>>>). Tiesiog įsivaizduokite trūkstamą polių aibė kaip tuščias vietas, žyminčias platumų linijas dubliuotoje sferoje. Paslinkite visus taškus kiekvienoje platumos linijoje ir begalybė užpildys visas tuštumas.
Polių taškų paslinkimai

Laisvas centrinis taškas randasi kitame apskritime ir gali būti užpildytas tokiu pat būdu. Ir štai, padubliavome visas 6- ias grupes. Dabar galime jas sujungti į mūsų sferą.

Tai atrodo neįmanoma!? Kaip galima padvigubinti objekto tūrį jį tiesiog suskaičius ir pertvarkius?! Vienu paaiškinimų yra tas, kad paradoksas nusimeta nesuskaičiuojamumo jungą. Sferos dekompozicija su sekančiais pasukimais sukuria labiau suvaldomą aplinką.

Paradoksas turi ir neprietelių. Kai kurie jame regi absurdišką išvadą, nurodančią į matematinio samprotavimo taisyklių trūkumą. Banacho-Tarskio paradoksą galimu padarė išrinkimo aksioma – viena iš 9-ių ZFC sistemoje, įvesta kaip papildymas ZFC aksiomų sistemai. Ji leidžia matematikams pasirinkti aibės elementus, net jei ta aibė begalinė. Tačiau dėl jos kritikai, kaip Wildberger‘is3), šiaušiasi. Tačiau dauguma matematikų dėl jos ramiai miega ir į Banacho-Tarskio paradoksą žvelgia kaip į matematikos turtingumą. Jis parodo, kaip matematika gali nukrypti nuo fizikinės tikrovės pati sau neprieštaraudama.


1) Stefanas Banachas (Stefan Banach, 1892-1945) – lenkų matematikas, šiuolaikinės funkcionalinės analizės pradininkas. Jo svarbiausiu darbu buvo „Théorie des opérations linéaires“ (1932). Mokėsi ir vėliau profesoriavo Lvovo un-te, nuo 1939 m. Lenkijos matematikų draugijos prezidentas (buvo vienu jos steigėjų 1919 m.).
Dar savo disertacijoje (1920 m., o paskelbtoje 1922 m.) aksiomatizavo pilnąją normuotąją tiesinę (vektorinę) erdvę, kurią pradžioje vadino „E-erdve“, o vėliau įvardijo kaip „B tipo erdvė“ – tad natūraliai imta vadinti Banacho erdve. Ji apibendrina tiesės, plokštumos ir trimatės erdvės vektorių aibės sąvoką. Įrodė atviro atvaizdavimo teoremą (vadinamą Banacho-Šteinhauzo teorema). Iškėlė hipotezę, kad bet kuri separabeli Banacho erdvė turi suskaičiuojamą pagrindą (kurią 1973 m. paneigė švedas P. Enflo).

2) Feliksas Hausdorfas (Felix Hausdorff, 1868-1942) – žydų kilmės vokiečių matematikas, vienas iš šiuolaikinės topologijos pradininkų, žymiai prisidėjęs prie aibių ir matų, skaičių teorijų bei funkcionalinės analizės vystymo. Prieš išvežant į koncentracijos stovyklą, nusižudė kartu su žmona ir jos seserimi.
Pirmąkart įvedė ir išnagrinėjo svarbias Hausdorfo erdvės (1914), topologinę ribos, Hausdorfo mato (1919) savybes, apibrėžė Hausdorfo metriką. Svarbiausiu jo darbu laikomi „Aibių teorijos principai“ (1914), toliau išvystyta kaip „Aibių teorija“ (1927).
Kaip rašytojas ir filosofas pasižymėjo Polio Mongrė pseudonimu. 1898 m. pasirodė „Kosminio pasirinkimo chaosas“, kurioje pradėjo Nyčės „amžinojo sugrįžimo“ kritiką. Taip pat išleido poezijos knygą „Ekstazė“ (1900), o 1904 m. žurnale „Die neue Rundschau“ atspausdinta jo vieno akto pjesė „Daktaras ir jo siaubas“.

3) Normanas Vildbergeris (Norman Wildberger) – iš Kanados kilęs, tačiau Sidnėjuje (Australija) dirbantis matematikas (nuo 1990 m.). Pagarsėjęs jo posakis, kad matematika, šiuolaikine jos forma, yra apgaulė.

Taip pat skaitykite:
Fieldso medalis
Begalybė (pristatymas)
Vištų matematiniai pokalbiai
Pitagoro skaičiai per Fibonačio seką
Kirmgrauža tarp matematikos sričių
Iš Antikos ateinantis klausimas: kiek jų?
Kodėl matematikoje nežinomąjį žymi „x“?
Ultimatyvi logika: iki begalybės ir toliau
Endre Szemeredi darbų esmė „ant pirštų“
Kantoro aibių teorija ir tikrosios begalybės intuicija
Kai kurie pasiekimai 2020 m. matematikoje: išmazgymas
Naujos skaičių sistemos siekia atgauti pirminius skaičius
Klasikinės „neišsprendžiamos“ geometrinės konstrukcijos
Žodžių anagramos, skaičiai, paprikos ir kt.
Kita skaičiavimo metodų istorijos pusė
Apie Tarskio skritulio kvadratinimą
Kombinatorika, polinomai, tikimybės
Mokslininkui nereikia matematikos!
Atominio amžiaus vaikai
Išmatuojam apskritimą
Kaip supakuoti standžiau?
Tūkstantmečio problemos
Pi keliai ir klystkeliai
Matematikos keliu