Tolydumo sąvokos evoliucija

Dvi pagrindininės matematinės analizės sąvokos – skaičius ir tolydumas – praėjo ilgą formavimosi kelią nuo pat antikos laikų. Skaičiaus kaip skaičių atkarpos elemento, susijusio su tolydumo (nepertraukiamumo) ir sutvarkymo sąvokomis, sampratos ištakos yra Eudokso  priartėjimų metode dirbant geometriniais dydžiais, Euklido principe ir jo sustiprinime Archimedo priartėjimo iš viršaus ir apačios metoduose.

12-14 a. vyko antikos palikimo įsisavinimas, tuo pačiu abstrahuojant ir matematizuojant fizikines kontinuumo, tolydumo, taško, linijos ir paviršiaus sąvokas. Ž. Buridano, V. Okamo1) ir R. Suiseto2) darbuose atsirado loginės schemos, vėliau panaudotos matematinėje analizėje. Jie nagrinėjo ir tokius teiginius kaip savybės paskutinio egzistavimo akimirkos nebuvimas, o tik naujos savybės akimirkos buvimo galimybė; tarp dviejų besiliečiančių kontinuumo dalių nieko nėra; linija nepertraukiama tik neigiant kažką esant tarp dalių, galintį būti trūkiu; laikas kaip kontinuumas nusakomas taip, kad arba praeityje nėra paskutinės akimirkos, arba jo nėra ateityje – priklausomai nuo to, praeičiai ar ateičiai priskiriame dabartį. Tolydumas

Naujas sąvokas – pokytis, intensyvumas, akimirksninis greitis, pastovus dydis, nenutrūkstamas dydis, seka, sutvarkymas – nors ir neformalizavus, buvo įvestos scholastų, tuos dydžius išdėsčiusių sutvarkytose skalėse, tarp kurių yra atitikmuo. Buvo pripažintas taško matematine prasme sąlyginiškumas, kontinuumo tapatumo sau idėja ir suformuluoti pirmieji begalybės paradoksai. Buridanas nagrinėjo intervalų seką, kurių kiekvienas turėjo kontinuumo tašką. Dar nebuvo sąvokų „kryptis“ (atsiradusios tik 18 a.), vektoriaus (išskyrus taško radius-vektoriaus). Pirmąkart apie 1300-uosius pasirodė terminas „erdvė“. Tačiau dar nebuvo gretimumo, aplinkos, artėjimo, konvergavimo, judėjimo sąvokų (konvergavimo ir eilutės sąvokos pirmąkart pasirodė pas Dž. Gregorą). Riba traktuota kaip fizinės medžiagos kraštas. 14 a. ypatybe verta paminėti N. Oremo aprašytą skirtumą tarp kintamojo ir pastovaus dydžio, tris statmenų ašis, pastovų intensyvumo stiprėjimą. Bėda tik ta, kad scholastai atmesdavo tas idėjas, kurios nederėjo su jų patirtimi. Daugelis jų, aptarus Oremui,  Bradvardinui ir Buridanui, tapo pagrindu skaičiaus sampratos pagrindu (16 a.), be galo mažo dydžio sąvokai (17 a.), o 19 a, analizėje – tankio, sekos, ribos, pjūvio, padengimo, sutvarkymo, tolydumo sąvokoms.

Nominalistų sėkmei reiktų priskirti Averojaus tezę apie tai, kad matematika neegzistuoja už sielos; kad matematines sąvokos turi skirtis nuo jas atitinkančių fizikinių sąvokų. Viduramžių filosofai praturtino tolydaus ir diskretaus analizę logikos vystymusi, pagilino kontinuumo, begalybės sąvokas. 16 a. svarbiais buvo M. Štifelio3), Dž. Kardano, R. Bombelio4) tyrinėjimai. Štifelis (1545) pirmąkart ėmė nagrinėti neigiamus skaičius kaip lygiaverčius skaičius, sutvarkė sveikus, racionalius ir iracionalius dydžius skaičių skalėje ir nustatė, kad tarp dviejų gretimų skaičių randasi be galo daug tiek racionalių, tiek algebrinių iracionalių skaičių kiekis. Tas idėjas vystė Galilėjus, sukūręs begalinių skaitinių aibių atitikimo pavyzdį.

Kardanas (1545) atrado menamus skaičius, Bombelis (1572) įvedė aritmetinių veiksmų su neigiamais skaičiais taisykles, nurodęs kompleksinių skaičių palyginimo, sudėties ir daugybos galimybę. Pirmąjį bandymą pateikti neigiamų ir menamų geometrinę ir fizikinę interpretaciją pateikė Dž. Valisas (1685). A. Muavras (1707, 1722) pateikė trigonometrinę kompleksinio skaičiaus interpretaciją. L. Oileris kompleksinius skaičius nagrinėjo kaip taškus koordinačių plokštumoje ir ivėdė žymenį i (1777). Geometrinę jų interpretaciją pasiūlė K. Veselis5) (1797) ir Ž.R. Arganas (1806). Griežtą kompleksinių skaičių algebrą sukūrė K. Gausas (1831). V. Hamiltonas jų pagrindu sukūrė kvaternionų teoriją (1843), padėjusią Dž. Gibsui sukurti vektorinių skaičiavimų teoriją (1881, 1884).

Apytikslių I. Niutono algebrinių lygčių sprendimo metodai buvo išvystyti Dž. Valio (1685), Dž. Rafsono6) (1690), T. Simpsono7) (1740). I. Niutonas palaipsniui plėtė skaičiaus sampratą, nors Niutonas neanalizavo savo metodų konvergavimo. Tai vėliau atliko Ž.P. Murailis8) (1768), Ž.-B. Furjė (1831), A. Keli (1879) ir L.V. Kantorovičius9) (1937-1957). K. Maklorenas10) „Traktate apie fliuksijas“ (1742) pabandė sistemiškai išdėstyti Niutono fliuksijų metodą ir jį pagrįsti antikine geometrija. Būtent pas jį atsirado „Archimedo aksioma“, kurią laikė svarbiausia pagrindžiant tolydumą.

Pirmosios teoremos apie tolydžias funkcijas pasirodė 17 a. algebroje – jų ištakomis buvo M. Rolio11) kaskadų metodas (1690), išvystytas I. Niutono (1707), H.F. Lopitalio (1696), Š.-R. Reino15) (1708), Dž. Kempbelo, K. Makloreno (1727–1729),  A.K. Klero (1746), L. Oilerio (1755), S.F. Lakrua14) (1797), A.G. Kestnerio16) (1768), Ž.P. Lagranžo (1798), B. Bolcano12) (1817), O.L. Koši (1821), M.B. Drobišo (1834), K. Vejerštraso (1861, 1886), U. Dinio13) (1878) ir G. Kantoro (1879).

Algebrinės lygties analizė atvedė prie dviejų svarbių funkcionalinės analizės teiginių - teoremos apie šaknų intervalą ir teoremos apie išvestinės šaknį; o taip pat teoremos apie vidurkio reikšmę.

Iki 17 a. pabaigos įrodymai buvo pateikiami tik geometrijoje, o algebroje ir beatsirandančioje matematinėje analizėje vietoje jų buvo samprotavimai ir pavyzdžių demonstracijos. Pradiniu tyrinėjimų objektu buvo daugianaris (polinomas), t.y. aiškiai tolydi funkcia, o tolydžių funkcijų savybių suformulavimo poreikis kilo tik po 1822 m. (Furjė eilučių pasirodymo). Funkcijos sąvoka dar tik pradėjo formuotis, nebuvo grafiko, kaip taškų geometrinio atvaizdavimo, sampratos Tasai vaizdinys kilo tik M. Roliui. O G. Lopitalis naudojo abscisės, ordinatės, koordinačių sąvokas, pateikė geometrinę išvestinės prasmę, būtiną sąlygą ekstremumui. Reikšmingai prisidėjo B. Bolcano, nuodugniai išnagrinėjęs Rolio teoremą ir pateikęs pirmąjį griežtą jos įrodymą (pirmasis matematinės analizės įrodymas!). 1821 m. O. Koši Rolio teoremą įrodė kitu būdu. 1861 m. Vejerštraso paskaitose teoremos apie šaknų intervalą, apie vidurkio reikšmę, apie išvestinės šaknį įgavo teoremų, aprašančių tolydžių funkcijų sąvybes, statusą. U. Dinio laikais tokių teoremų skaičius pasiekė 11.

18 a. L. Oilerio, Ž. Dalambero (1765), S. Liuiljė17) (1786), Ž.L. Lagranžo (1797), A. Ampero (1806) darbuose buvo vystomos ribos, be galo mažo dydžio ir funkcijos sąvokos. 19 a. šios tyrinėjimus pratęsė Bolcano (1817), Koši (1823) ir Vejerštrasas (1856). Oilerio (1748, 1755), Lagranžo (1770), S. Lakrua, Koši darbuose vystytos diferenciavimo taisyklės.

Antrąja šios grupės funtamentaliąja teorema tapo Lagranžo teorema apie vidurinę reikšmę (1797), taip pavadinta Ampero (1806) ir puikiai įrodyta Koši (1823), pirmąkart paklaidai pavartojusio e žymenį.

Toliau sekė dviejų milicininkų (sumuštinio, suspaudimo) teorema. Vaizdinį apie tašką, esantį įdėtų intervalų sekoje, išsakė Buridanas. Priartėjimo iš viršaus ir apačios būdu reikšmės ieškojo P. Ferma,  Gregoras (1668), Niutonas (1669), Maklorenas (1742), Gausas (1809). Bolcano suformulavo sekos konvergavimo kriterijų (1817), o Koši jį įvedė į sisteminį analizės pateikimą (1821) – ir dabar vadinamas Koši kriterijumi (ekvivalentiškas Kantoro įdėtų intervalų metodui). Koši jau netiesiogiai naudojosi dviejų milicininkų principu (1821), jį naudojo Furjė,  Dirichlė, Ž. Darbu18) (1875). Jis atvedė prie Heinės-Kantoro konverguojančių sekų metodo, tapusio vienu pagrindinių analizės instrumentų.

Toliau matematinę analizę vystė Š. Merė19), G. Hankelis20), E. Heinė21), R. Dedekindas ir kt. Bolcano pirmasis pradėjo vystyti aksiomatinį metodą, Jis atkreipė dėmesį, kad aritmetikos tiesos negali būti išvestos iš empirinių mokslų, visų pirma iš geometrijos. Jis aritmetiką pagrindė 4-mis aksiomomis ir dviem veiksmais (sudėties ir daugybos). 1817 m. jis tikslios viršutinės ribos įrodymui panaudojo srities padengimą intervalais. Jis pirmas panaudoja ir taško aplinkos sąvoką bei Menge (aibės) terminą. Ir dar jis apibrėžė begalinę aibę kaip ekvivalentišką savo daliai.

Matematikos loginiam pagrindimui ir algebros formalizacijai buvo skirti M. Omo22) darbai, aritmetikos aksiomų išskyrimu rūpinosi N. Lobačevskis (1834, 1843), sukurti aritmetikos teoriją bandė H. Grasmanas23) (1861), nors dėl neįprastos terminijos ir abstraktaus pateikimo jo kūriniai buvo nepopuliarūs – ir tik H. Hankelis paaiškino jo idėjų esmę (1867), o vėliau pateikė savą teorinės aritmetikos pagrindimą (1869). Jis išplėtė ir skaičiaus sąvoką: nagrinėjo realius, kompleksinius ir hiperkompleksinius skaičius. Jis išvedė ir beveik visoms civilizacijoms universalų skaičių užrašymo būdą. Vėliau aritmetikos aksiomatizaciją papildė Dedekindas,  Dž. Bulis ir 1889 m. užbaigė Dž. Peano.

Po to Kantoras sukūrė aibių teoriją, Kantoras ir Dedekindas – tolydumo koncepciją, Dedekindas ir Peano – aritmetikos aksiomatiką, Vejerštraso paskaitose ima ryškėti kompaktiškumo ir topologinės erdvės koncepcija: šios vėliau išsikristalizuoja M. Frešės24) (1906) ir F. Hausdorfo (1914) darbuose. 1869 ir 1872 m. pasirodė Š. Merė darbai su jo (deja, nepripažinta) iracionalaus skaičiaus koncepcija, kur šie skaičiai apibrėžiami kaip konverguojančios sekos. Vėliau (1872) ji atsirado pas Vejerštrasą (sukūrusio savąją kontinuumo koncepciją) ir buvo išvystyta Kantoro.

Pradedant Bolcano,  Dirichlė ir Heinės darbais vystėsi tolydaus konvergavimo, tolygaus tolydumo sąvokos ir intervalo padengimo idėja. Eilutės tolydų konvergavimą nagrinėjo O. Koši (1821, 1823, 1853), N. Abelis (1826), Vejerštrasas (1842), F.L. Zeidelis25) (1849), Dž. G. Stoksas26) (1849), K.J. Tomė27) (1866), E. Heinė (1870). Intervalo padengimą pirmąkart panaudojo Bolcano (1817), o Dirichlė šį metodą naudojo savo įrodymuose (1854, 1858). Jis suformulavo tolydų tolydumą kaip esminę tolydžių funkcijų savybę, tačiau jo griežtai neįrodė, nes dar nebuvo įrodyta teorema apie monotoninės apribotos funkcijos ribą, nepagrįsta tikslios viršutinės ribos sąvoka (jas suformulavo Vejerštrasas), nebuvo išvystyta realaus skaičiaus koncepcija (Kantoras ir Heinė). Dar nebuvo iki galo aiški iracionalaus skaičiaus sąvoka ir funkcijos tokiam skaičiui skaičiavimas ir nebuvo skaičių tankio sampratos. Visa tai 1872-74 m. įvedė Kantoras. R. Lifšicas pratęsė Furjė eilučių konvergavimo sąlygų praplėtimą begalinių trūkių ir ekstremumų kiekiui (1864) ir pirmąkart apibrėžė aplinkos sąvoką. Jis pirmasis atkreipė dėmesį į skirtumus tarp aibių, kurios vėliau bus pavadintos niekur netankiomis, visur tankiomis ir nesuprastinamomis.

Galutinė tolygiai tolydžios funkcijos formulavimą ir jos savybių nustatymą atliko Kantoras ir Heinė. Tuo metu jau buvo sukurta aibių teorija, radosi mato teorija. Borelis išskyrė tas sritis, kurioms taikytinas matas. Lebegas28) įvedė vidinį srities matą. Atsirado taškų skirstymas į išorinius ir vidinius, o taip pat ribinius taškus. Vystėsi skaitinių sričių, o vėliau pasirodė konstruktyvi ir descriptyvi funkcijų teorijos šakos.

R. Dedekindas užsiėmė algebra. 1871 m. jis, apibendrinęs daugianarių ir algebrinių skaičių teoriją, įvedė abstrakčias algebrines struktūras: žiedus,  idealus ir modulius. Kartu su L. Kronekeriu sukūrė bendrą dalumo teoriją. Pažintis su G. Kantoru paskatino susidomėti aibių teorija. Dedekindo idėja apie pastovų žmonijos kilimą prasmių laipteliais buvo išsakyta kūrinyje „Kas yra skaičius ir kam jis tarnauja?“ (1888). Tai buvo jo sava aibių (sistemų) teorija, kurioje jis panaudojo natūralių skaičių sistemos sukūrimo aksiomatinį metodą. Terminą „daiktas“ jis naudoja kaip aibės elementą, nagrinėdamas daiktų priklausymą vienai aibei per jų rišlumą mūsų sąmonėje ir naujo objekto atsiradimą sąmonėje. Tokių etapų seka sudaro prasmių laiptelius, suderintus su ankstesnėmis matematikos struktūromis ir kuriančius naujas sąvokas, naują sampratą apie skaitinės erdvės tolydumą. Skaičiaus sąvoka nepriklausomai nuo fizinės ir geometrinės erdvės vaizdinių yra mūsų mąstymo produktas. Po metų šią aritmetikos aksiomų sistemą išvystė ir supaprastino Peano, kuriai ir „prilipo“ jo vardas. 20 a. pradžioje aksiomatinis metodas buvo priimtas Hilberto mokyklos.

Dedekindas savo realaus skaičiaus koncepciją pagrindė pjūvio sąvoka – tiek skaičiui, tiek taškams tiesėje. Dedekindo išskirtinumu buvo algebrinis požiūris į skaičių. Jis stengėsi pateikti aritmetinį tolydumo sąvokos apibrėžimą laisvą nuo geometrinės interpretacijos. Jis apibrėžė skaičiavimus su realiais skaičiais ir tuo pačiu įrodė teoremą apie aritmetinių operacijų tolydumą.

19-20 a. sankirtoje geriausiu buvo U. Dinio „Realaus kintamojo teorijos kursas“ (1878), kurį jis skaitė beveik 50 m. Daugeliu atvejų U. Dinis įvedė bendresnes formules ir metodus. Jam priklauso funkcijos tolydumo apibrėžimas per vienpuses ribas, o taip pat sava trūkių klasifikacija.

Realaus skaičiaus teorija ir tolydumo sąvoka vėliau buvo vystoma Prancūzijos mokykloje (R. Beras29), E. Borelis30), A. Lebegas ir kt.), Maskvos mokykloje (D. Jegorovas,  N. Luzinas su mokiniais), Lenkijos aibių ir mato teorijų mokykloje (V. Serpinskis su mokiniais) ir kitų.

Aritmetikos ir geometrijos aksiomų sistemos reikalavo apibendrinimo vieningu pagrindu. 1899 m. D. Hilbertas sukūrė naują aksiomų sistemą, į kurią įtraukė Archimedo aksiomą ir pilnumo aksiomą. 20 a. A. Kolmogorovas sukūrė realių skaičių kaip visumos, esančios pilnu tiesiniu sutvarkytu lauku, aksiomatinę koncepciją. Pilnumo aksiomą jis pavadino tolydumo aksioma. Jis įrodė kelių 19 a. aksiomų tapatumą ir parodė, kad pilnumo aksiomą galima pakeisti įdėtų intervalų principu kartu su Archimedo aksioma.

20 a. pradžiai susiformavo skaičių tiesės sąvoka. Šios sampratos vystymasis ėjo nuo antikinio kūniškos tiesės, kaip fizikinės medžiagos fragmento, vaizdinio. Senovėje skaičiai buvo suprantami kaip natūralių ir racionalių teigiamų skaičių, sudarančių skalę, visuma. Iracionalūs dydžiai buvo suprantami kaip neištraukiamos šaknys. Į skaičių tarpą ilgai nebuvo įtraukiamas nulis. Pirmąkart neigiamus skaičius apibrėžė M. Štifelis (1544) – jis skaičiais pavadino ir nulį, trupmeninius skaičius ir iracionalius dydžius. L. van Ceilenas paskaičiavo p reikšmę 35 dešimtainių ženklų tikslumu (1596), Galilėjus liniją suvokė kaip judėjimo rezultatą (1630). Geometrinė tiesė (arba ašis) kaip sąvoka matematinėje analizėje formavosi 16-18 a. L. Oileris išsakė prielaidą (1748) ir apie transcendalių iracionalių skaičių egzistavimą ir įvedė p ir e žymenis. I. Lambertas įrodė p ir e iracionalumą (1766). Lagranžas iracionalius skaičius apibrėžė per begalines grandinines trupmenas, Koši apibrėžė iracionalius skaičius kaip konverguojančių sekų ribas (1821), tačiau neapibrėžė tvarkos ir operacijų su jais. Bolcano pabandė sukurti realių skaičių teoriją (1830, o paskelbta tik po šimtmečio). Ž. Luivilis31) pradėjo kurti transcendentinių skaičių teoriją. Š. Ermitas įrodė e transcendentalumą (1873), o F. Lindemanas įrodė p transcendentalumą (1882), o K. Vejerštrasas supaprastino jo įrodymą (1885).

Tačiau realaus skaičiaus teorija dar nebuvo sukurta. Nebuvo galima griežtai apibrėžti nulį, palyginimą su nuliu. Todėl Vejerštrasas savo diferencialinio skaičiavimo paskaitose (1861) įrodinėjo teoremą „Tolydi funkcija, kurios išvestinė apibrėžtuose argumentų intervaluose visur lygi nuliui, susiveda į konstantą“. 1869 m. realaus skaičiaus teoriją sukūrė Š. Merė, kuris įvedė neišmatuojamo skaičiaus kaip fiktyvios ribos sąvoką; jo teorija ekvivalentiška Kantoro teorijai, tačiau amžininkai jos nepriėmė.

Skaičių tiesė kaip koncepcija 1872 m. susiformavo Kantoro ir Dedekindo darbuose. Dedekindas taškams tiesėje priskyrė tokias pat savybes kaip racionaliems skaičiams, postuluodamas, kad kiekvienam racionaliam skaičiui atitinka taškas tiesėje. Šią tiesės savybę Dedekindas vadina aksioma, kurią pripažindami mes tiesei suteikiame tolydumą. Kantoras postulavo abipusiškai vienareikšmį atitikimą tarp skaičių ir taškų tiesėje, tačiau teigė, kad tai įrodyti tai neįmanoma. Vejerštrasas laikė, kad kiekvieną skaičių atitinka taškas geometrinėje tiesėje, tačiau nežinoma, ar kiekvieną tašką atitinka skaičius.

Mums įprastas skaičių tiesės vaizdinys formavosi daugiau nei dviejų tūkstančių metų laikotarpiu, kol Kantoras užbaigė skaičių tiesės kaip išbaigtos susijusios aibės vaizdinį. Naujos koncepcijos atitiko 19 a. mokslo ir dėstymo poreikius ir jų dėka išsiplėtė tyrinėjimų instrumentarijus. Tolimesnis jų vystymasis atvedė prie tokių 20 a. teorijų kaip deskriptyvioji aibių teorija, funkcijų teorija, topologija ir funkcionalinė analizė.


Trumpos biografijos

1) Viljamas Okamas (William Ockham, apie 1285-1349) – pranciškonų vienuolis, filosofas, suformulavęs garsų metodologinio principą, vadinamąjį Okamo skustuvą („Nereikia gausinti esybių be reikalo“ - non sunt multiplicanta entia praeter necessitatem), sudarantį redukcionizmo pagrindą (apie poreikį naudoti kuo mažiau prielaidų).
1324 m. už prieštaravimą Bažnyčios doktrinai įkalintas Avinjone, vienuolyno kalėjime, iš kurio 1328 m. pabėgo, o po poros metų persikėlė į Miuncheną pas Vokietijos imperatorių Liudviką IV Bavarą, tuo metu kovojusį prieš popiežių valdžią. Jį labiausiai išgarsino trijų dalių logikos veikalas „Visos logikos sąvadas" (1340). Yra parašęs filosofijos ir politinių traktatų.

2) Ričardas Suisetas (Richard Swineshead, apie 1340-1354) – anglų matematikas, mechanikas, filosofas ir logikas. Jo pagrindinis darbas – 16-os traktatų rinkinys „Skaičiavimų knyga“ (apie 1346 m.); joje aptariama mechaninio judėjimo sąvoka ir susiję filosofiniai klausimai apie kontinuumo ir begalybės problemos, perteikiamomis matematiškai. Atskiru atveju, jis kaip pavyzdį panaudoja sumą
1/2 + 2/22+3/23+4/4+…=2

3) Michaelis Štifelis (Michael Stifel, 1487-1567) – vokiečių augustinų vienuolis, ankstyvas M. Liuterio šalininkas ir protestantų reformatorius ir matematikas, vienas iš logaritmų atradėjas. Pradžioje užsiėmė numerologija, bandydamas atrasti slaptas Biblijos prasmes. Knygoje „Apie pasaulio pabaigą“ jis pareiškė, kad pasaulio pabaiga įvyks 1533 spalio 13-ą. Kai ji neįvyko, jį suėmė ir uždarė į kalėjimą. 1535-47 m. buvo pastoriumi; šiam laikotarpiui priskiriami pagrindiniai jo matematiniai darbai. Prasidėjo karas ir jam teko bėgti, o 1559 m. atsikėlė į Jeną, kur universitete dėstė matematiką. Paliko pėdsako vystant algebra; jo svarbiausiame darbe „Arithmetica integra“ (1544) pateikė išsamią neigiamų skaičių teoriją, kėlimą laipsniu, analizavo įvairias progresijas ir kitas sekas. Jis pirmasis ėmė naudoti „šaknies“ ir „laipsnio rodiklio“ sąvokas. Ir dar pateikė idėją, tapusią logaritmų teorijos pagrindu - perdirbo K. Rudolfo knygą, kurioje išsakė mintį, vėliau tapusią logaritmų pagrindu (1553).

4) Rafaelis Bombelis (Rafael Bombelli, 1526-1572) – italų matematikas, hidraulikos inžinierius. Svarbiausias jo veikalas yra „Algebra“ (apie 1560 m.). Žinomas kompleksinių skaičių įvedimu joje ir sukūrusiu pagrindines operacijas su jais. Išvertė Diofanto „Aritmetiką“, taip Europoje pradėdamas skaičių teorijos vystymąsi. Taip pat sugalvojo pirmuosius skliaustus – jie turėjo apvelsto raidės L formą (mums įprasti sklaustai atsirado 16 a., o visuotiniam jų naudojimui turime būti dėkingi Leibnicui ir Oileriui).taip pat pirmasis pradėjo naudoti skaitinį (o ne žodinį) laipsnio žymenį (šiuolaikinį įvedė Dekartas).

5) Kasparas Veselis (Caspar Wessel, 1745-1818) – norvegų matematikas, matininkas, nuo 1763 m. nuvykęs į Daniją. Užsiėmimai geodezija paskatino kompleksinių skaičių geometrinę prasmę (kaip taško plokštumoje). Jo svarbiausias darbas yra „Apie analitinį krypčių pateikimą“ (1799), susijęs su vektoriais – kadangi parašytas danų kalba, likęs praktiškai nepastebėtas.

6) Džozefas Rafsonas (Joseph Raphson, apie 1648-1715) – anglų matematikas, žinomas Niutono-Rafsono metodu (Niutono metodui suteikęs šiuolaikinę išvaizdą). Žinomiausias veikalas „Universali lygčių analizė“ (1690), kuriame pateiktas iteracinis algebrinių lygčių sprendimo metodas. Filosofijos srityje sugalvojo panteizmo terminą („De Spatio Reali“, 1697); jis laikė, kad visa apimtimi Visatos dėsniai nepasiekiami žmogaus supratimui.

7) Tomas Simpsonas (Thomas Simpson, 1710-1761) – britų matematikas, šilko audėjas. Pirmu jo veikalu buvo „Naujasis traktatas apie fliuksijas“ (1737), o vėliau pasirodė veikalas apie tikimybes „Apie atsitiktinumo prigimtį ir dėsnius“ (1740). 1743 m. paskirtas profesoriumi į Karinę akademiją Vulidže parašė elementarios matematikos vadovėlių. Antras veikalas apie fliuksijas pasirodė 1750 m.

8) Žanas Murailis (Jean-Raymond Pierre Mouraille, 1721-1808) – prancūzų matematikas ir astronomas; Marselio meras (1791-93). Pasisekimo turėjo jo knyga „Apie bendrąjį lygčių sprendimą“ (1768)l; jame parodė, kad kreivė y=f(x) intervale nuo savo šaknies ir jos priartėjimoo turi būti išgaubta abscisių ašies atžvilgiu.

9) Leonidas Kantorovičius (1912-1986) – tarybinis ekonomistas ir matematikas, žinomas indėliu į optimalaus resursų paskirstymo teoriją (transportavimo uždaviniui). Matematinėje analizėje prisidėjo vystant funkcionalinę analizę, aproksimacijos teoriją ir operatorių teoriją. Atskiru atveju pasiekė svarių rezultatų normalizuotoms vektorių gardelėms, kurios jo garbei buvo pavadintos „K- erdvėmis“. Tai pusiau sutvarkytos erdvės, kurios elementai iš esmės yra apibendrinti skaičiai.

10) Kolinas Maklorenas (Colin Maclaurin, 1698-1746) – škotų matematikas, prisidėjęs vystant geometriją ir algebrą. Žinomas kaip tapęs jauniausiu profesoriumi (19 m. amžiaus Glazgove). Jo vardas suteiktas specialiam Teiloro eilučių atvejui. Ypatingą istorinę vertė turi jo „Apie fliuksijas“ (1742), kuriame bandė užpildyti spragą – įrodymų nebuvimą be galo mažų dydžių analizėje. Jo pateikti įrodymai pasižymi griežtumu ir pateikti senovės graikų geometrų stiliumi. Be to jis pridėjo ir įvairių fliuksijų taikymų pavyzdžių geometrijos, mechanikos ir astronomijos uždavinių sprendimams. Jo garbei pavadintas krateris Mėnulyje.

11) Mišelis Rolis (Michel Rolle, 1652-1719) – prancūzų matematikas. Jis rado Bernardas Bolcano Diofanto lygčių sprendimo būdą, nustatė šaknies egzistavimo ribas kaskadų metodu. Buvo ir Gauso eliminavimo metodo (tiesinių lygčių sprendime) vienu pradininkų (1690). Jis žinomas ir kaip aršus diferencialinio skaičiavimo ir Dekarto analitinės geometrijos priešininkas.

12) Bernardas Bolcano (Bernard Bolzano, 1781-1848) – matematikas, logikas, filosofas ir teologas iš Bohemijos. Pirmasis pateikė griežtą realių skaičių teoriją ir buvo vienu aibių teorijos pradininkų. Pradžioje daugiausia rašė filosofijos ir teologijos temomis, tačiau garsėjo liberaliomis pažiūromis, tad popiežius pareikalavo jį „nustumti“ ir 1820 m. imperatorius jį pašalino iš visų pareigų Prahos universitete. Jis išvažiavo į kaimą ir užsiėmė matematika ir logika. Tačiau jo veikalai aplenkė laiką ir amžininkų liko nesuprasti – įvertinti tik 19 a. pabaigoje. Pvz., 1830 m. jis rado pirmuosius tolygių, tačiau niekur nediferencijuojamų funkcijų pavyzdžius. Taip pat žr. >>>>>

13) Ulisas Dinis (Ulisse Dini, 1845-1918) – italų matematikas ir politikas, plačiausiai žinomas savo indėliu į realaus kintamojo (atskiru atveju, harmoninę analizę) ir eilučių teorijas bei diferencialinę geometriją. Žinomiausiais rezultatais yra jo teorema apie tolydų sekų ir eilučių konvergavimą bei Dinio sąlyga Furjė eilučių teorijoje. Jis yra Dinio išvestinės autoriumi. Su jo vardu susijęs ir uždavinys apie geodeziškai ekvivalenčių paviršiaus metrikų lokalią klasifikaciją. Jo garbei pavadintas asteroidas 654.

14) Silvestras Fransua Lakrua (Sylvestre Francois Lacroix, 1765-1843) – prancūzų matematikas, žinomas kaip paruošęs kursą „Traité du calcul différentiel et intégral“ (1797), pagal kurį mokėsi kelios kartos. 1812 m. Č. Babidžas įpareigojo „Analitinę draugiją“ jį išversti (1816). Be to buvo paplitę ir keli kiti jo kursai. Jo vardas suteiktas krateriui Mėnulyje.

15) Šarlis-Renė Reino (Charles-René Reynaud, 1656-1728) – oratoriancų vienuolis, prancūzų matematikas ir filosofas. Nuo 1683 m. dėstė matematiką Anžere. 1708 m. išleido „Analyse démontrée…“, kurioje pateikti nemažai įrodymų, kurie autorių buvo likę arba nesuvokti arba išdėstyti nepakankamai aiškiai ir tiksliai.

16) Abraomas Kestneris (Abraham Gotthelf Kästner, 1719-1800) – vokiečių matematikas, epigramų autorius. Geriausiai žinomas 4 t. „Matematikos pagrindais“ ( 1768-69), sistemingu fizikos ir matematikos kursu, prasidedančiu aritmetika ir pasibaigiančiu optika. Garsėjo labai šmaikščiomis ir aštriomis epigramomis. Jo garbei pavadintas krateris Mėnulyje.

17) Simonas Liuiljė (Simon Antoine Jean L'Huilier, 1750-1840) – šveicarų matematikas, žinomas darbais iš matematinės analizės ir (tada dar nesusiformavusios) topologijos. Laimėjo konkursą matematikos vadovėliui Varšuvos karo akademijai (1775) - jis buvo gerai įvertintas. Todėl buvo pakviestas dėstyti į Lenkijos mieste Pulavoje, kur jis praleido 11 m. Tik 1795 m. grįžo į Ženevą ir ten profesoriavo iki pat 1823 m. Svarus jo indėlis į matematinės analizės pagrindimą aiškinantis „be galo mažo dydžio“ sąvoką. Jo darbas šios sąvokos išaiškinimui laimėjo 1784 m. konkurse; jame pirmąkart panaudotas ribos simbolis lim. 1812 m. pateikė Oilerio charakteristikos apibendrinimą briaunainiui su skylėmis.

18) Žanas-Gaskonas Darbu (Jean-Gaston Darboux, 1842-1917) – prancūzų matematikas, žinomas pasiekimais matematinėje analizėje (integravimas, diferencialinės lygtys dalinėmis išvestinėmis) ir diferencialinėje geometrijoje. Buvo A. Puankarė biografu.

19) Šarlis Merė (Hugues Charles Robert Méray, 1835-1911) – prancūzų matematikas, realiųjų skaičių teorijos pradininkas (1869 m straipsnyje pateikė realaus skaičiaus apibrėžimą ir išdėstė jų teoriją), tačiau jo idėjos amžininkų liko nepastebėtos (vėliau jo darbus pakartojo R. Dedekindas ir G. Kantoras). Siekė griežtai įrodyti, kad bet kuri Koši seka konverguoja. Nuo 1900 m. pasisakė už esperanto kalbos naudojimą.

20) Hermanas Hankelis (Hermann Hankel, 1839-1873) – vokiečių matematikas, žinomais darbais aritmetikos pagrindų, kompleksinės analizės, kvaternionų, integralinių transformacijų, tiesinės algebros, Antikos ir Viduramžių istorijos srityse. Geriausiai žinomas Hankelio transformacija ir Hankelio matrica.

21) Eduardas Heinė (Heinrich Eduard Heine, 1821-1881) – vokiečių matematikas, Bonos ir Halės un-tų profesorius, 1864-65 Halės un-to rektorius. Daugiausia užsiėmė potencialo, realiojo kintamojo funkcijų ir diferencialinių lygčių teorijomis, tyrinėjo q-hipergeometrines eilutes.

22) Martinas Omas (Martin Ohm, 1792-1872) – vokiečių matematikas, G. Omo jaunesnysis brolis. Pagrindiniai tyrinėjimai skirti skaičių teorijai ir geometrijai. Taip pat parašė darbų iš mechanikos, dzeta funkcijų, trigonometrinių eilučių, matematikos pagrindų sričių. „Loginio matematikos išdėstymo patirtyje“ (1822-52) išdėstė algebros formalizavimo pagrindus, suformavo skaičių srities išplėtimo principą. Įvedė terminą „aukso pjūvis“ (1835).

23) Hermanas Grasmanas (Hermann Günther Grassmann, 1809-1877) – vokiečių mokslininkas (lingvistas, matematikas, fizikas), leidėjas. Nustatė monochromatinių spalvų suvokimo dėsnį (vadinamą jo vardu). Jis rašė knygas apie vokiečių gramatiką, rinko liaudies dainas, mokėsi sanskrito. Jo garbei pavadintas ir kalbotyros dėsnis - jei po aspiruoto priebalsio seka kitas aspiruotas prieb alsis tai pirmasis praranda aspiratą. 1840 m. straipsnyje pristatė tai, kas dabar vadinama tiesine algebra ir vektorine erdve. 1844 m. paskelbė A1 (nauja versija A2 1862-ais), kuriame pasiūlė naujus matematikos pagrindus – ta buvo revoliucinis tekstas, smarkiai aplenkęs savo laikmetį, tad nebuvo priimtas. 1861 m. padėjo pagrindus Peano aritmetikos aksiomatikai.

24) Morisas Frešė (Maurice René Fréchet, 1878-1973) – prancūzų matematikas, daugiausia dirbęs topologijos ir funkcinės analizės, o taip pat statistikos bei tikimybių teorijos srityje. Įvedė metrinės erdvės, kompaktiškumo, pilnumo ir kt. sąvokas (1906).

25) Filypas Zeidelis (Philipp Ludwig von Seidel, 1821-1896) – vokiečių matematikas ir astronomas. Įvedė tolygaus konvergavimo koncepciją (1847). Daugiausia prisidėjo prie eilučių teorijos. 1874 m. pasiūlė iteracinį tiesinių lygčių sprendimo būdą, dabar vadinamą jo vardu. Sukūrė aplanato objektyvą. Motometru nustatinėjo žvaigždžių ryškumus. Jo garbei pavadintas krateris Mėnulyje.

26) Džordžas Stoksas (George Gabriel Stokes, 1819-1903) – airių matematikas, mechanikas ir fizikas, prisidėjęs indėliu į hidrodinamiką ir dujų dinamiką, optiką ir matematinę fiziką. Užsiėmė ir matematine analize. Tuo pat metu kaip ir F. Zeidelis įvedė sekų ir eilučių tolydaus konvergavimo sąvoką (1848). Jo garbei pavadinti krateriai Mėnulyje ir Marse, mieneralas stokezitas bei klampumo matavimo vienetas.

27) Karlas Johanas Tomė (Carl Johannes Thomae, 1840-1921) – vokiečių matematikas, Jenos un-to profesorius (nuo 1879 m.). Daugiausia užsiėmė funkcijų teorija, diferencialine geometrija ir topologija.

28) Anri Lebegas (Henri Leon Lebesgue, 1875-1941) – prancūzų matematikas, vienas iš realaus skaičiaus funkcijų teorijos pradininkų. Geriausias žinomas dėl Lebego mato ir juo besiremiančio Lebego integralo, apibendrinančio integralo sąvoką platesniam funkcijų ratui ir plačiai naudojamam diferencialiniame ir integraliniame skaičiavimuose, tikimybių teorijoje, topologijoje ir kitur. Įvedė „beveik visur“ sumuojamos funkcijos sąvoką; pasižymėjo indėliu į trigonometrinių eilučių teoriją, projektyvinę geometriją ir kitur. Dalis jo darbų skirta matematikos istorijai ir filosofijai. Jo garbei pavadintas krateris Mėnulyje.
Taip pat žr. >>>>>

29) Renė-Lui Beras (René-Louis Baire, 1874-1932) – prancūzų matematikas, šiuolaikinės realaus skaičiaus funkcijų teorijos ir deskriptyviosios aibių teorijos kūrėjas, žinomiausias Bero kategorijų teorema, leidžiančia atskirti „dideles“ ir „mažas“ aibes. Taip pat įvedė trūkių funkcijų klasifikaciją.

30) Emilis Borelis (Felix Edouard Justin Emile Borel, 1871-1956) – prancūzų matematikas ir politikas, žinimas darbais mato teorijos ir tikimybių teorijos srityse. Jo vardu pavadinta Borelio aibė. Vienoje knygoje apie tikimybes pateikė mintinį beždžionių su rašomosiomis mašinėlėmis eksperimentą – ar jos atsitiktinai spausdindamos atspausdintų Šekspyro sonetą. Jo garbei pavadintas krateris Mėnulyje.

31) Žozefas Luivilis (Joseph Liouville, 1809-1882) – prancūzų matematikas. Jis sistemingai ištyrinėjo dalies uždavinių išsprendžiamumą, pateikė griežtą elementariosios funkcijos ir kvadratūros apibrėžimus; įrodė, kad specialioji Rikačio lygtis kvadratūromis integruojama tik D. Bernulio nurodytais atvejais. Taip pat buvo talentingu organizatoriumi, įsteigė „Grynosios ir taikomosios matematikos žurnalą“. Pirmasis perskaitė neskelbtus E. Galua darbus ir suprato jų svarbą, paskelbdamas žurnale 1846 m. Jo vardu pavadintas krateris Mėnulyje.

Taip pat skaitykite:
Fieldso medalis
Begalybė (pristatymas)
Vištų matematiniai pokalbiai
Pitagoro skaičiai per Fibonačio seką
Kirmgrauža tarp matematikos sričių
Iš Antikos ateinantis klausimas: kiek jų?
Kodėl matematikoje nežinomąjį žymi „x“?
Kaip įmanomas begalinis klonavimas?
Endre Szemeredi darbų esmė „ant pirštų“
Kantoro aibių teorija ir tikrosios begalybės intuicija
Kai kurie pasiekimai 2020 m. matematikoje: išmazgymas
Naujos skaičių sistemos siekia atgauti pirminius skaičius
Klasikinės „neišsprendžiamos“ geometrinės konstrukcijos
Žodžių anagramos, skaičiai, paprikos ir kt.
Kita skaičiavimo metodų istorijos pusė
Kombinatorika, polinomai, tikimybės
Šokis aplink kontinuumo kardinalumą
Mokslininkui nereikia matematikos!
Atominio amžiaus vaikai
Išmatuojam apskritimą
Kaip supakuoti standžiau?
Tūkstantmečio problemos
Pi keliai ir klystkeliai
Matematikos keliu