„Sunkiausias“ galvosūkis. Lithuanian

Filme „Labirintas“ (1986) Sarai tenka spręsti loginį galvosūkį, kai atsiduria prieš dvi duris: vienos veda į pilį, o kitos į neišvengiamą žūtį. Jas saugu du sargybiniai, kurių vienas visad sako tiesą, o kitas visad meluoja. Kuris sako tiesą, o kuris meluoja – Sara nežino. Ji gali užduoti vieną klausimą, į kurį gautų „taip“ arba „ne“ atsakymą. Tad kokį klausimą ji privalo paklausti, kad sužinotų,, pro kurias duris jai eiti?

Tas klausimas yra „Ar kitas sargybinis pasakys, kad šios durys veda į pilį?“. Abiem atvejais atsakymas bus melas: tiesos sakytojo atsakymas susijęs su tuo, ką atsakytų melagis, o tuo tarpu melagis turėtų neigti tiesą, kurią sakytų tiesą sakantis. Tad jei atsakymas yra „taip“, tai tos durys veda į pražūtį, o jei „ne“ – į pilį.

Tai buvo įžanga į taip vadinamąjį „Sunkiausiai kada nors buvusį galvosūkį“ [1], kuris skamba taip:

Yra trys dievai A, B ir C, kurių vardai Tiesa, Melas, Atsitiktinumas. Tiesa visad sako tiesą, Melas visad meluoja, o Atsitiktinumas kartais (atsitiktinai) sako tiesą, o kartais meluoja. Reikia nustatyti, koks yra kiekvieno dievo vardas. Tai padaryti reikia kiekvienam dievui užduodant po vieną klausimą, į kurį jis galėtų atsakyti „taip“ arba „ne“. Tačiau dievai atsako tik savo kalba „da“ arba „ja“, ir nežinoma, kuris žodis ką reiškia.

Truputis detalesnių paaiškinimų: bet kuris dievas gali būti paklaustas tik kartą; klausimai gali priklausyti nuo anksčiau gautų atsakymų, Atsitiktinumas atsako visiškai atsitiktinai; ir dievai yra labai protingi, tad gali atsakyti į sudėtingus klausimus, o taip pat gerai moka ir matematiką (ir gali atsakyti į klausimą „ar 1+1=2?”).

Vis tik galvosūkis gana painus dėl dievo Atsitiktinis buvimo (jo atsakymai nesuteikia jokios informacijos), o taip pat dėl kalbos barjero.

I. Pradžioje panagrinėkime atvejį, jei žinome, ką reiškia „da“ ir „ja“.

Tačiau tarkim, kad žinote, kad kuris nors dievas yra Tiesa arba Melas (t.y, kad jis nėra Atsitiktinis) – kaip galite išsiaiškinti, kuris jis yra? Tai labai lengva – pakanka užduoti klausimą „Ar 1+1=2?” Tiesa atsakys „taip“, Melas – „ne“.

Jei žinote, kad dievas yra Tiesa, ar galima nustatyti kitų dviejų dievų tapatybę? Tam reikia paklausti jo [Tiesos] rodant į kitą dievą „Ar tas dievas yra Atsitiktinis?“. Jei atsakymas „taip“ – jis (į kurį buvo rodoma) tikrai Atsitiktinis, o jei „ne“, tai dievas (į kurį rodoma) yra Melas.

Jei žinote, kad dievas yra Melas, kitus du galite nustatyti jo paklausdamas (rodant į kurį nors dievą) „Ar tas dievas yra Atsitiktinis?“. Jei atsakymas „ne“ – jis (į kurį buvo rodoma) yra Atsitiktinis, o jei „ne“, tai dievas (į kurį rodoma) yra Tiesa.

Taigi iš šių samprotavimų seka, kad pakanka pirmuoju klausimu paklausti taip, kad būtų nustatyta, kuris dievas nėra Atsitiktinis. Tada antruoju klausimu „Ar 1+1=2?” būtų nustatytam ar jis Tiesa, ar Melas. Ir galiausiai klausimu „Ar tas dievas yra Atsitiktinis?“ būtų baigtas aiškinimasis.

Bet štai – rasti klausimą, leidžiantį eliminuoti Atsitiktinį dievą, yra šiek tiek komplikuota. Reikia klausti, rodant į vieną iš kitų dviejų dievų, „Ar esate Tiesa tada ir tik tada, jei tas dievas yra Atsitiktinis?“ Šiame klausime „tada ir tik tada“ yra loginis būdas susieti dvi prielaidas: bendras tvirtinimas yra teisingas tik tada, jei abi prielaidos yra teisingos, arba abi prielaidos yra klaidingos. Tad panagrinėkime galimus atsakymų variantus.

Jei atsako Tiesa, tai patvirtinantis atsakymas reiškia, kad rodome tikrai į Atsitiktinį, jei atsakymas „ne“ – tai rodome į Melą;
Jei atsako Melas, tai patvirtinantis atsakymas irgi reiškia, kad rodome į Atsitiktinį, o neigimas reikia, kad rodome į Tiesą;
Jei atsakinėja Atsitiktinis, tai jo atsakyme nėra informacijos, tačiau tai reiškia, kad mes rodome ne į Atsitiktinį (nes atsakinėja pats Atsitiktinis).

Taigi, bet kuriuo atveju atsakymas „ne“ reiškia, kad Atsitiktiniu nėra dievas, į kurį nerodome. Taigi, išsiaiškinome, kaip nustatyti dievus, jei suprantame atsakymus (t.y., ką reiškia „da“ ir „ja“).

Tebesilaikome anksčiau aprašytos strategijos, tačiau šiek tiek patiksliname klausimus – jų pradžią papildant „Ar tikrai ‘da’ reiškia ‘taip’, tada ir tik tada, jei ...“

Į tokį klausimą gausime atsakymą „da“ tik tuo atveju, jei dievas atsakytų „taip“ ir gautume „ja“, jei dievas atsakytų neigiamai.

Tie modifikuoti klausimai leidžia išsiaiškinti „da“ ir „ja“ reikšmes, o tuo pačiu ir išspręsti pirminį galvosūkį.

[1] George Boolos. The Hardest Logic Puzzle Ever// The Harvard Review of Philosophy, Volume 6 (1996), pp.62-65 (https://doi.org/10.5840/harvardreview1996615
[2] T.S. Roberts. Some Thoughts About the Hardest Logic Puzzle Ever// J. of Philosophical Logic, 30:609-612(4), Dec. 2001
[3] The Hardest Logic Puzzle Ever// Straipsnis Vikipedijoje