Loterijų matematika. Atstatymai. Lithuanian

Tarkim, ateinate į stadioną ir kažkur ant vejos padedate cento monetą. Tada užrištomis akimis draugui duodate centą, kad jis jį padėtų kažkur tame pat stadione. Tikimybė, kad jis padės ant jūsų cento, yra apie 15 k. didesnė nei laimėti minėtą „aukso puodą“.
Per mažai? Tada paimkite 10 lošimo kauliukų. Tikimybė, kad pirmo metimo metu visi jie rodys tą patį skaičių, yra 5 kartus mažesnė už laimėjimą...

Dabar bent apytiksliai įsivaizduojate? Gerai. O ar yra šansų padidinti laimėjimo tikimybę? Be abejo, jei atsižvelgsime į žmonių psichologiją. Pirma, dažniau rinkitės didesnius už 31 skaičius, o antra, labiau rinkitės lyginius skaičius. Pirmu atveju todėl, kad žmonės dažnai renkasi savo ar kitų gimimo datas, o antru – nes žmonės dažniau renkasi nelyginius skaičius. Tad jūs nepadidinsite laimėjimo tikimybės, tačiau padidinsite tikimybę, kad išlošto „aukso puodo“ nereiks dalintis su kitais.

Ar yra loterijos bilietas, kuris visad laimi?

Ar begalinėje loterijoje gali egzistuoti bilietas, kuris laimi visada?

Standartinėje loterijoje turite bilietą su keliais skaičiais, ir jei jie sutampa su atsitiktinai parinktais loterijos skaičiais, jūsų bilietas laimi. Kiekviename biliete gali būti kelios eilutės, suteikiančios jums keletą galimybių laimėti. Tai reiškia, kad pakankamai ilgas bilietas iš principo gali turėti visus įmanomus laimėjimo derinius, o tai reiškia, kad jis visada laimi – nors iš tikrųjų tai kainuotų tiek daug pinigų, kad nebūtų verta.

Tačiau begalinėje loterijoje viskas yra šiek tiek kitaip. Laimintys skaičių rinkiniai yra be galo ilgi, o kiekvienas bilietas gali turėti begalinį eilučių skaičių, o kiekvienoje eilutėje yra begalinis skaičių skaičius. Šioje situacijoje ne taip akivaizdu, ar įmanoma sukurti bilietą, kuris visada laimi .

Tokį klausimą aibių teorijoje dar 1969 m. iškėlė danų matematikas A.R.D. Mathias’as¹⁾ - ir nuo to laiko jis liko neatsakytas, (30 m. jis iš viso buvo užmirštas, o tada prisimintas ir kažkiek spręstas) ... tol, kol 2002 m. juo nesusidomėjo A.D. Tornquist’as²⁾ bebaigdamas daktarinę disertaciją Kalifornijos un-te. Jis pasinaudojo Ramsey teorija, kurioje aptiko koreliaciją su jo pavadinta MAD šeima. MAD yra tarsi loterijos bilietas, kuris visad laimi tam tikroje begalinėje sveikų skaičių loterijoje, kurioje bilietas turi begalinį skaičių begalinių sekų kiekį. Ir bilietas gali turėti tiek daug sekų, kad jų paprasčiausiai neįmanoma sunumeruoti.

A. Tornquist’as rimtai susirėmė su šiuo uždaviniu 2011 m., kai su savo doktorantu austru D. Schrittesser’iu pamažu darė progresą. 2014 m. jis sumąstė permąstyti uždavinį, ėmęsis „kūdikiškos“ A. Mathias’as suformuluotos versijos, kurios sprendimą paskelbė – ir tai netikėtai sudomino matematikos pasaulį ir uždavinį „užsipuolė“ daugelis tyrinėtojų ir ėmė aiškėti įvairios jo dalys. Reikalai paspartėjo...

Po 5 m. darbo abu tyrinėtojai užbaigė sprendimą: jie nustatė, kad begalinėje loterijoje susidaro tam tikra struktūra, dėl kurios laimėję skaičiai susigrupuoja, bet tokiu būdu bilietas, kuris visada laimi, tiesiog negali egzistuoti. Jų straipsnį priėmė prestižinis JAV žurnalas PNAS (2019 m. rugsėjo 17 d.) - kad visiškas atitikimas neegzistuoja (ką ir įtarė, bet nesugebėjo įrodyti A. Mathias’as); taigi nėra visada laiminčio loterijos bilieto.

Taip pat skaitykite apie proveržį 2019-ais

¹⁾ Adrianas Matijus (Adrian Richard David Mathias, g. 1944 m.) - britų matematikas, dirbantis aibių teorijos srityje. Jo vardu pavadinta forsingo (privertimo) sąvoka (Matijaus forsingas), nes jis straipsnyje „Laimingos šeimos“ (1977) įrodė svarbias forsingo savybes. Taip pat žinomas kaip rašantis apie socialinius logikos aspektus, taip pat kritikuoja Burbaki požiūrį į logiką.

²⁾ Asgeras Tornkvistas (Asger Dag Tornquist) - danų matematikas, Kopenhagos un-to profesorius. Dirba matematinės logikos ir aibių teorijos srityse ir jų taikymuose, tokiuose kaip ergodinė teorija, operatorių algebra, grupių veiksmais ir kt.
Medijų dėmesį patrauke, kai, kartu su kolega David Schrittesser’iu įrodė 50 m. senumo matematinį uždavinį iš „maksimalių beveik nepersikertančių šeimų“ (MAD šeimų). Jiedu įrodė, kad MAD šeimos negali būti „apibrėžiamos“ tam tikra topologine prasme; atskiru atveju, kad Ramsio savybė reiškia, kad MAD šeimų nėra.

³⁾ Džonas Venas (John Venn, 1834-1923) – anglų matematikas, logikas ir filosofas, žinomas plačiai naudojamų Veno diagramų įvedimu (1881 m.). Pagrindine domėjimosi sritimi buvo logika. Paskelbė „Atsitiktinumo logika“ (1866), kurioje pristatoma dažnuminė tikimybių teorija, „Empirinės logikos principai“ (1889), kurioje pagrindžiamos atvirkštinės operacijos Bulio logikoje, taip ją išplečiant. 1888 m. jį patraukė istorija ir paskelbė Kizo koledžo 1349-1897 m. istoriją (1897). Kartu su sūnumi ėmėsi Kembridžo un-to absolventų istorijos sudarymą (pirmas leidimas 1922 m., paskutinis 1953 m.). Pasižymėjo mašinų konstravimų – viena jų kriketo rutuliukų mėtymo mašina.

⁴⁾ Veno diagrama iliustruoja matematinius arba loginius ryšius tarp skirtingų objektų ar grupių, kai aibės vaizduojamos plokštumos figūromis (apskritimais), o jų elementai – taškais. Ją sukūrė Dž. Venas ir pristatė 1881 m. Kembridže (čia Kizo koledžo vitražiniame lange pavaizduota Veno diagrama). Ją Dž. Venas išpopuliarino „Simbolinės logikos“ (1881) 5-me skyriuje, nors iki jo panašias jau buvo iškėlę Ch. Weise (1712) ir L. Oileris (1768).

⁵⁾ Yasumasa Kanada (1949-2020) – japonų kompiuteristas ir matematikas, Tokijo un-to profesorius (nuo 1997 m.), žinomas pasiekimais skaičiuojant p reikšmę (daug kartų gerinant tikslumą). Iki 2009 m. jo rekordas buvo 1,2411 trilijono skaitmenų po kablelio.