„Matematikoje vėlgi esama tiesų, kurios pranoksta bet kokias žmogaus proto galimybes ir kuriomis tikima remiantis autoritetu; šis autoritetas – tai „Lean“ formaliojo tikrinimo įrankis ir jį valdanti korporacija, o dvasininkai – tie, kurie gali pateikti užklausas šiai sistemai ir interpretuoti jos atsakymus (visų pirma – korporacijos matematikai); kalba, kurios pasauliečiai negali perskaityti, yra ne lotynų, o „Lean“ kalba“.

„Sertifikatas yra dokumentas: jis patikimai informuoja mus, kad paminklas egzistuoja, ir tai viskas. Rugsėjo 8-osios „Lean“ įrodymas – tai 616 tūkst eilučių dokumentas apie paminklą, kurio niekas nėra aplankęs. Galime tuo dokumentu tikėti. Tačiau civilizacija, kurios žinios susideda iš dokumentų apie paminklus, kurių ji nelanko, – tiek pagal E. Panofskio, tiek pagal Hobso apibrėžimą – nustojo būti humanistine civilizacija, kad ir kokia būtų jos įsitikinimų būklė“.

Pirmasis A. Gamburdo esė skirsnis

Matematika buvo esminė Apšvietos amžiaus dalis, kuri prasidėjo su „Principia“ – įrodymu, kad keletas teiginių vienodai valdo ir obuolį, ir mėnulį. Fontenelle padarė išvadą, kad l’esprit géométrique nėra prisirišusi vien prie geometrijos, visiškai įmanoma ją pritaikyti kitoms žinių rūšims. D’Alembert’as matematikos mokslus pavertė vieninteliais „pažymėtais įrodymų antspaudu“ ir visas kitas disciplinas vertino pagal atstumą nuo jų; Kantas teigė, kad gamtos doktrina apima lygiai tiek pat mokslo, kiek ir matematikos; o Condorcet’as pasiūlė socialinės mathématique sociale idėją.

Tačiau didžiausia matematikos paslauga Apšvietai, ta, kuri iš tiesų davė įspūdingų rezultatų, nebuvo nei doktrininė, nei metodologinė. Matematika buvo koncepcijos įrodymas, demonstravimas, kad tai, ko norėjo Apšvietos amžius, apskritai buvo įmanoma: žinojimas, kuris verčia sutikti nesikreipiant į valdžią, tas pats galioja ir valstiečiui, ir kunigaikščiui, kurį gali patikrinti bet kuris kantrus žmogus. Judėjimo kūrėjams nereikėjo jos išrasti; ji jau egzistavo, nes geometrinis įrodymas yra tiesa, nepriklausanti nuo to, kas ją skelbia. Lokas rekomendavo matematiką „ne tiek tam, kad jie taptų matematikais, kiek tam, kad jie taptų protingomis būtybėmis“, o ši frazė mums pasako, kas buvo protinga būtybė: kažkas, kas nepriimtų 47-ojo teiginio vien Euklido žodžiu, o sektų juo tol, kol neįmanoma taptų būtina. Euklido knygoje nebuvo jokių paslapčių, nepasiekiamų žmogaus protui; tai buvo Apšvietos mintis apie Euklidą. Griežtai kalbant, matematika nebuvo Apšvietos amžiaus koncepcijos įrodymas, o jos egzistavimo įrodymas: ji neįrodė, kad autonominis protas gali veikti; ji pateikė pavyzdį. Štai kodėl galima sakyti, kad Apšvieta, iš esmės, prisirišo prie savo pirmagimio stiebo, ir būtent todėl matematikos laivo išplaukimas į neramius vandenis, kelia grėsmę Apšvietos projektui, o gal ir visam pagrindimui.

Atvirkštinis teiginys yra mažiau žinomas, tačiau ne mažiau svarbus: būtent Švietimo epocha suformavo matematiką tokią, kokią ją pažįstame šiandien. Iki tol matematika savo pažangiausiose srityse buvo privati, dažnai – rūmų aplinkai būdinga veikla. Tartaglia atskleidė kubinės lygties sprendimo būdą Cardano tik davęs priesaiką; Niutonas nusiuntė Leibnicui fliuksijų metodą užšifruotą anagrama; Bernuliai mesdavo iššūkius spręsti uždavinius taip, kaip kviečiama į dvikovą; gautas rezultatas buvo laikomas nuosavybe, o ši nuosavybė buvo saugoma ją slepiant. Švietimo epocha pavertė šią privačią nuosavybę viešojo pažinimo dalimi. Akademijos ir mokslo žurnalai lėmė, kad rezultatas tapdavo tikru atradimu ne tada, kai buvo sukurtas, o tada, kai buvo paskelbtas; pirmenybė atitekdavo tam, kas pirmas jį išspausdindavo; nuopelnai buvo priskiriami vardui, kurį kiekvienas galėjo paminėti; įrodymas buvo skirtas anoniminiam skaitytojui, kurio kompetencija buvo savaime suprantama.

André Weil’is, pradėdamas savo skaičių teorijos istorijos skyrių [knygoje „Skaičių teoriją er istoriją: nuo Hamurapio iki Ležandro“, 1984] apie Oilerį, atkreipia dėmesį į šį pokytį. Iki pat 17 a. antrosios pusės matematika „kartais pelnydavo jos žinovams didelę šlovę, tačiau retai suteikdavo galimybių kilti socialiniais laiptais ar gauti garbingą darbą“, o jos rezultatai sklisdavo „privačiu korespondentų tinklu“; tačiau „link Oilerio gimimo 1707 m. įvyko esminis lūžis“, ir „mokslo gyvenimas amžių sandūroje įgavo struktūrą, nedaug besiskiriančią nuo tos, kurią matome šiandien“. Oileris parašė 800 straipsnių specialistams bei „Laiškus Vokietijos princesei“ (ne mažiau reikšmingus nei šimtmečiu anksčiau rašyti Dekarto laiškai Bohemijos princesei Elžbietai). Tais pačiais amžiais matematika tapo socialinio kilimo įrankiu: į „École Polytechnique“ buvo priimama konkurso tvarka, o siuvėjo sūnus Furjė, pamestinukas d’Alembertas ir smulkaus prekiautojo sūnus Monge parodė, ką ši disciplina gali suteikti kilmingos kilmės neturintiems žmonėms (nors ir ne tiems, kurie neturėjo „tinkamos“ lyties – pvz., Sophie Germain šios mokyklos Ležandro kursą studijavo pagal paskaitų užrašus, prisidengusi vyro vardu); kartu buvo įtvirtintas ir šiuolaikinis griežtumo standartas.

Koši 1821 m. išleistas „Cours d’analyse“ buvo kursas Politechnikumui, ir J. Grabiner²⁾ teigė, kad jo griežtumas iš dalies buvo dėstymo specifika: analitikas galėjo pasikliauti išlavintu pojūčiu, kada eilutė konverguoja arba kada egzistuoja riba, tačiau šio pojūčio negalima dėstyti studentų auditorijai, - paskaitose reikia pateikti apibrėžimą, taikomą kiekvienam atvejui, ir įrodymą, kuris nenaudoja nieko kito be to apibrėžimo. Griežtumas – tai pojūtis išverstas į kalbą, tinkamą mokymui, o École Polytechnique visų pirma buvo mokymo įstaiga. Lagranžas, dėstydamas toje pačioje mokykloje viena karta anksčiau, „Théorie des fonctions analytiques“ pagrindė laipsninių eilučių skaičiavimą; Koši ribos jas pakeitė.

Matematikos praktikos normos – visiems prieinami išankstiniai straipsnių variantai (preprintai), autorystės pripažinimas per citavimą, publikavimas, reikalaujantis kolegų vertinimo ir taip (tik taip) įtvirtinantis pirmenybę (dabartinį pavidalą toji praktika įgijo dėka Lamb’o³⁾ mokytojo Stokso, 31 m. ėjusio Karališkosios draugijos sekretoriaus ir jos „Transactions“ leidinio redaktoriaus pareigas), bei supratimas kaip tikslas ir įrodymas kaip priemonė – nėra ex naturalis [prigimtinės teisės] apraiškos, o Švietimo epochos institucijos. Publikavimas anksčiau atlikdavo tris funkcijas vienu metu – pranešdavo apie rezultatą, nurodydavo jo autorius ir demonstruodavo supratimą; šių funkcijų niekada nereikėjo atskirti, nes tris šimtmečius gebėjimas suformuluoti ir įrodyti gilią teoremą buvo neatsiejamas nuo žmogaus proto, kuris ją suvokė. Matematikų bendruomenė yra maža, atvira, neginkluota ir (iš esmės) garbinga respublika – dalis to, ką d’Alembertas vadino „Laiškų respublika“ [pranc. République des Lettres], – kuri viską skelbia iš anksto ir be jokio atlygio; ir tai daroma ne iš naivumo, o todėl, kad visa jos sandara (kaip ir pati jos egzistavimo prasmė) buvo grindžiama kliūčių šalinimu.

Ši dvejopa tezė – kad matematika buvo Apšvietos epochos koncepcijos pagrindimo įrodymas ir kad Apšvieta sukūrėtokią matematiką, kokią pažįstame šiandien, – padeda paaiškinti, kodėl lemiama akistata tarp pažangiausių modelių ir mokslo pasaulio įvyko būtent matematikos, o ne ________ srityje, kurioje sukasi didžiausi pinigai. „Lean“ sistemoje teorema arba įveikia įrodymų tikrinimo etapą, arba ne; tad matematika tampa ta nepakeičiamai svarbi žmogaus žinių sritimi, kurioje mašinai galima nurodyti – dideliu mastu ir be vertinančio žmogaus įsikišimo, – ar jai pavyko (pačių apmokytojų žargonu tariant, tai „patikrinamo atlygio“ sritis, kurioje sprendimą, kitur perkamą iš žmonių vertintojų, čia nemokamai pateikia įrodymų tikrinimo programa).

Matematika egzistuoja vien tekstiniu pavidalu, tad visa jos pažangos riba pasiekiama tik per simbolių vienetus (tokiu būdu esprit géométrique lieka nustumta į antrą planą). Tačiau giliausia priežastis slypi pačiame Švietimo epochos palikime: buvo sutarta matematiką laikyti proto buveine, o skaičiuojanti mašina būtent čia įtikinamiausiai įrodo savo pretenzijas į protą. Nuo Turingo šachmatų iki „Go“ žaidimo ir toliau iki Tarptautinės matematikos olimpiados (IMO) mašininio intelekto matu tapdavo formalūs žaidimai, o matematika būdavo suvokiama kaip seniausias iš jų – tas, kurį Hobsas vadino „skaičiavimu“ (eckoning).

Kai mašinos ėmė spręsti olimpiadų uždavinius, Jacob Tsimerman’as paklausė savo disertacijos vadovo Peter Sarnak’o⁴⁾ – šis buvo pastebėjęs, kad tai daugiau pasako apie pačias varžybas nei apie mašinas: „Kokį lygį turi pasiekti dirbtinis intelektas, kad pradėtumėte į jį žiūrėti rimtai? Ką jis turėtų daryti? Kada pakeistumėte savo nuomonę?“ Šiame esė bandoma išsiaiškinti atsakymą, kurį, regis, pateikė rugsėjo 8-oji. „Tūkstantmečio“ premijos milijonas – tai menkniekis, kaip ir lėšos, išleistos jai pelnyti; iš tikrųjų čia buvo sprendžiamas santykinis dviejų galių, pretenduojančių į šio esė pavadinime minimą titulą, statuso klausimas, o pats įvykis buvo susijęs ne tiek su matematikos pažanga, kiek su siekiu pasirodyti tais, kurie tą pažangą pasiekė. Matyti, kaip kas nors užsiima matematika, – tai matyti, kaip tas žmogus mąsto. Šios dalies atvirąją literatūrą galima laikyti bendruoju ganyklų plotu, o pažangiausius modelius – jo aptvėrimu. Pirmoji pasekmė jau matoma: matematikai gali pradėti saugoti savo darbus, kad šie nebūtų pasisavinti. Tai kelias atgal į Tartaglia laikus ir „atvirkštiniai Viduramžiai“ (šią Panofskio frazę, paminėtą mano epigrafe, nagrinėju IV skirsnyje) – tikėtina, kad šis reiškinys paveiks matematikos kaip mokslo srities sociologiją dar prieš paliesdamas jos epistemologiją. Simone Weil teigė, kad trys šiuolaikinės civilizacijos pabaisos yra „pinigai, mechanizacija ir algebra“, o „Silicio slėno Leviatanas“ – tai taškas, kuriame šie trys elementai susilieja į vieną kūną. Jobo knygos Leviatanas gyveno vienoje iš keturių klasikinių stichijų. „Silicio slėnio Leviatanas“ gyvena penktojoje, o ją S. Weil savo sąraše buvo įrašiusi pirmuoju numeriu

„Svarbiausi rezultatai galiausiai turėtų tapti neatsiejama savo srities vadovėlių bei žinynų dalimi – ir būtent tokia forma, kokia jie dėstomi kitai studentų kartai. Šis kanonizavimo procesas – kai rezultatas iš naujo suformuluojamas pasitelkiant jam būdingą bendrumą, pateikiamas su tinkamiausiu (o ne pirminiu) įrodymu, susiejamas su susijusiomis sąvokomis ir įtraukiamas į standartinį metodų arsenalą – yra pats lėčiausias iš visų etapų. Jam reikia plataus masto, apgalvoto sutarimo, be to, tai etapas, kurio procesų dirbtinio intelekto įrankiais beveik neįmanoma optimizuoti. Mano nuomone, tai taip pat vertingiausia viso proceso dalis“.