|
Kas gi yra tos Li grupės? Matematikoje visur sutinkami objektai, kurie vadinami grupėmis, pasižymi kone magiškomis galiomis. Ir nors jos apibrėžiamos vos keliomis taisyklėms, grupės padeda spręsti daugybę paslapčių. Pvz., jos gali pasakyti, kurios polinominės lygtys yra išsprendžiamos arba kaip atomai išsidėstę kristale. Ir vis dėlto tarp visų skirtingų grupių rūšių išsiskiria vienas tipas. Li grupės, įvestos 19 a. 8-ojo dešimtm. pradžioje, yra labai svarbios kai kurioms fundamentalioms fizikos teorijoms ir pasižymėjo indėliu į skaičių teoriją ir chemiją. Jų sėkmės raktas yra tai, kaip jos sujungia grupių teoriją, geometriją ir tiesinę algebrą. Imant bendrai, grupė yra elementų rinkinys, suporuotas su operacija (pvz., sudėtimi arba daugyba) su dviem jos elementais gaunant trečiąjį. Dažnai grupę galima įsivaizduoti kaip figūros simetrijas transformacijas, kurios nepakeičia figūros. Aptarkime lygiakraščio trikampio simetrijas, kurios suformuoja 6-ių elementų grupę: Šios simetrijos yra diskrečiosios: jos sudaro skirtingų transformacijų, kurias būtina atlikti atskirais, nesusijusiais žingsniais, rinkinį. Tačiau taip pat galima tyrinėti ir tolydžiąsias simetrijas, pvz., visai nesvarbu, ar sukate lėkščiasvydžio diską (frisbee) 1,5 laipsnio, 15 laipsnių ar 150 laipsnių galite jį pasukti bet kokiu realaus skaičiaus laipsniu ir ji atrodys lygiai taip pat. T.y., skirtingai nuo trikampio, ji turi begalę simetrijų. Ir tie sukiniai (simetrijos) sudaro grupę, vadinamą SO(2). Kiekvieną frisbio pasukimą galima pavaizduoti kaip vieną tašką koordinačių plokštumoje. Pavaizdavus visus galimus pasukimus, gauname apskritimą. Ši papildoma savybė ir paverčia SO(2) grupę Li grupe ją galima vizualizuoti kaip tolygią, ištisinę formą, vadinamą daugdara. Kitos Li grupės gali atrodyti kaip torai, sferos ar dar keistesnių pavidalų: pvz., visų rutulio sukinių erdvėje grupė, vadinama SO(3), yra sudėtinga trimatė forma, egzistuojanti 9-ių matavimų erdvėje. Net kad ir kokios būtų specifinės jų savybės, glotni Li grupių geometrija yra slaptas ingredientas, iškeliantis jų statusą tarp kitų grupių. S. Li*) kelias į matematiką užtruko. Pirmą matematinį darbą paskelbė tik 1869 m. Jis pradėjo dirbti su grupėmis. Maždaug prieš 40 m. E. Galua panaudojo vieną grupių klasę polinominių lygčių sprendimo supratimui. S. Li tą patį norėjo padaryti su diferencialinėms lygtimis. Jo ketinimas neišsipildė, tačiau jis suprato, kad grupės pačios savaime yra įdomios iš iš to gimė Li grupės.
Toje srityje SO(2) dalis vos pastebima. Kai lėkščiasvydžio lėkštė pasisuka iki 10, kiekvienas jos taškas eina vos ne tiesia linija tad ir galima tokius pasisukimus apytiksliai įvertinti tiesia linija t.y. liestine. Ir toji liestinė vadinama Li algebra. Ši savybė yra nepaprastai naudinga dirbti su tiesiomis linijos yra gerokai paprasčiau nei su kreivėmis. Be to, Li algebra turi savo elementus (dažnai vaizduojamus kaip rodyklės ir vadinamus vektoriais), kuriuos galima naudoti norint supaprastinti skaičiavimus apie pradinę grupę. Ir iš tiesų, viena iš lengviausių matematikos sričių pasaulyje yra tiesinė algebra, o Li grupių teorija yra sukurta taip, kad ji tiesiog nuolat naudojasi tiesine algebra. Tarkim, norima palyginti dvi grupes; tada Li algebros labai supaprastina tą uždavinį. Gamtoje pilna nepertraukiamų simetrijų, kurias aprašo Li grupės, tad jos nepakeičiamos fizikoje. Imkime kad ir gravitaciją, kurios jėga priklauso tik nuo atstumo tarp kūnų (nepriklausomai nuo jų padėties erdvėje). O tai yra, jei kalbėsime Li grupių kalba, gravitacija simetriška pagal SO(3). Ir ji nesikeičia, jei kūnų sistema sukasi erdvėje. Bet ir visos kitos pagrindinės fizikos jėgos apibrėžiamos Li grupių simetrijomis. Pasinaudodami jomis, fizikai gali paaiškinti įvairius aspektus apie materija (pvz., kodėl neutronai visada sudaro poras su protonais ir kodėl atomo energija yra diskrečiais dydžiais). 1918 m. Emmy Noether pribloškė matematikus ir fizikus, įrodydama, kad Li grupės taip pat yra kai kurių pagrindinių fizikos tvermės dėsnių pagrindas. Ji parodė, kad bet kokiai fizinės sistemos simetrijai, kurią galima apibūdinti Li grupe, yra atitinkamas tvermės dėsnis. Pvz., tai, kad fizikos dėsniai šiandien yra tokie patys, kaip ir vakar, ir bus rytoj tai simetrija, žinoma kaip laiko perkėlimo simetrija, kurią vaizduoja Li grupė iš realiųjų skaičių. O tai reiškia, kad Visatos energija turi būti išsaugota ir atvirkščiai. *) Sofus Li (Marius Sophus Lie, 1842-1899) norvegų matematikas, sukūręs dalį nenutrūkstamos
simetrijos teorijos ir ją panaudojęs geometrijoje ir sprendžiant diferencialines lygtis. Jo pagrindine priemone buvo nenutrūkstamos
atvaizdavimų grupės (vėliau pavadintos
Li grupėmis), kurias galima geriau suprasti
nagrinėjant susidarančius vektorinius laukus (vadinamuosius infinitezitinius generatorius), paklūstančius grupių daugybai (komutatoriui)
ir turintiems Li algebros struktūrą. Dabar Li grupės rado platų pritaikymą matematikoje ir fizikoje,
įskaitant kvantinę mechaniką. Taip pat skaitykite: |
