|
Kai kurie 2025 m. štrichai matematikoje 2025 m. nustebino 17-metė bahamietė Hannah Cairo, išsprendė harmoninės analizės srities problemą. Šeimai persikėlusi į JAV, ji lankė Berklio magistrantūros lygio matematikos kursus, kur susidomėjo Mizohata-Takeuči teiginiu. Po kelių mėnesių atkaklaus darbo ji sukūrė pavyzdį, paneigiantį šį teiginį - kurio nepastebėjo labiau patyrę matematikai. Plačiau apie tai skaitykite >>>>> Tačiau matematika ir gražiai keista. Tai 10-ies martinių uždavinio sprendimas kad energetiniai elektronų lygiai gali sudaryti gerai žinomą fraktalinį vaizdą, vadinamą Kantoro aibe: tai, kad jinai gali apsireikšti sprendžiant Šriodingerio lygtį yra tiesiog neįtikėtina. Tasai uždavinys toks sudėtingas, kad matematikas Markas Kacas1) pasiūlė 10-mt martinių tam, kuris jį išspręs. Ir jis buvo išspręstas 2004 m., tačiau tokiu būdu, kurį viena jo sprendėjų Svetlana Žitomirskaja2) laikė nepatenkinamu: tai buvo tarsi languota lovatiesė, kurios kiekvienas kvadratas susiūtas skirtingais argumentais. Ir to sprendinio nebuvo galima pritaikyti problemai spręsti bendresnėmis ir realistiškesnėmis aplinkybėmis. Tad ji su komanda prie jo sugrįžo po 20 m. ir pateikė naują šio keisto ryšio tarp skaičių teorijos ir kvantinės fizikos įrodymą. Išsamiau apie tai skaitykite Dešimties martinių teiginys Nors šiuolaikinė matematika paprastiems žmonėms atrodo neturinti nieko bendra su realiu gyvenimu, ji nevyksta vakuume.
Jai įtakos turi ne tik mąstymo filosofija, bet ir patys žmonės - kartais į sceną ateina mąstymo revoliucionieriai, paveikiantis ištisas kartas.
Tokia buvo iranietė Maryam Mirzakhani,
sukurdama sukurdama novatoriškus metodus, skirtus suprasti matematikoje ir fizikoje atsirandančius tokius paviršius, kurie tiesiog
laužo" protą. Iš dalies už šį darbą ji tapo pirmąja moterimi, laimėjusia Fieldso medalį.
Tačiau ji mirė 2017-ais būdama 40 metų, nespėjusi iki galo išvysti savo atradimų pasekmių. O dvi kitos matematikės, Nalini Anantharaman3) ir
Laura Monk4), nagrinėjo jos palikimą tęsė jos pradėtą darbą, siekdamos geriau suprasti hiperbolinių paviršių pasaulį. Kas gali būti matematikoje patraukliau ir romantiškiau nei begalybės sąvoka. Matematikai nuo 1870-ųjų žino, kad begalybė, švelniai tariant, yra labai keista. Pirma, ji būna įvairių formų ir dydžių. Sveikųjų skaičių aibė (0, 1, 2, 3...) yra tokio pat dydžio kaip trupmenų aibė, bet mažesnė nei realiųjų skaičių aibė. Be šių plačiau žinomų begalybės tipų, yra visa žvėrynas didesnių (didesnės apimties) begalybių (su tokiais juokingais pavadinimais kaip stipri ir superkompaktiška), kurių beveik neįmanoma apibūdinti. 20 a. 4-me dešimtm. Kurtas Giodelis įrodė, kad matematinė visata, iš esmės, yra nepažini. Yra jos dalių, prie kurių niekada negalime prieiti: egzistuoja daugybė teisingų teiginių, kurių negalima įrodyti. Bet kiek arti matematikai gali priartėti prie jos supratimo? Skirtingi begalybių tipai suteikia jiems galimybę išbandyti savo ribas ir nuspręsti, ar matematinė visata yra tvarkinga, taigi ir kažkas, ką jie gali daugiau ar mažiau suvokti, ar beviltiškai chaotiška? Matematikų komanda (Juan Aguilera, Joan Bagaria ir Philipp Lucke) neseniai atrado du naujus begalybės tipus, kurie, jų teigimu, elgiasi kitaip, kaip tikėtumėtės. Tie tyrinėjimai yra labiau eksperimentiniai ir prieštaringai vertinami nei likusi matematikos sritis, tačiau jei šie matematikai teisūs, tai rodo, kad matematinė visata pilna visokių paslapčių ir monstrų, kokių iki šiol net nematėme. Taip pat paskaitykite apie begalybių begalybę: Kiek iš viso turime skaičių? Ir tikrai, kiek daug mes dar nežinome apie pačius matematikos pagrindus. Pvz., dauguma skaičių yra
iracionalūs, tai reiškia, kad jų negalima išreikšti jokia trupmena.
Tačiau įrodyti tai konkretiems skaičiams yra nepaprastai sunku. Prireikė dešimtmečių, kad būtų galutinai įrodyta, jog e yra
iracionalus, ir daugiau nei šimtmečio, kad tą patį būtų galima padaryti su
p. O matematikai vis dar neįrodė, kad p+e yra iracionalus? Tokie iracionalumo įrodymai buvo reti ir kartais, dramatiški. Kai vienas matematikas paskelbė savo konkretaus skaičiaus iracionalumo įrodymą, pranešimas greitai virto chaosu; matematikai jo teiginius pasitiko juoko šūksniais ir laidė popierinius lėktuvėlius. Tačiau neseniai matematikai sukūrė naujus metodus, leidusius įrodyti daugybės svarbių skaičių iracionalumą. Jei jau prakalbome apie svarbių dalykų nežinojimus, čia dar vienas! Didžioji dauguma išgaubtųjų daugiasienių (tai figūros su plokščiomis kraštinėmis ir be įdubimų, - tokios kaip kubas, tetraedras ir dodekaedras) turi tikrai keistą savybę. Jei paimsite tokį daugiasienį, per jį galima išgręžti tiesų tunelį, kad galėtų praeiti kita, šiam identiška daugiasienio kopija kad ir kaip nelogiškai tai skambėtų. Matematikai šimtmečius ieškojo išgaubto daugiasienio, neturinčio šios vadinamosios Ruperto savybės. 2025 m. jie pagaliau tokį rado: formą su 90 viršūnių ir 152 sienomis, kurią jos atradėjai praminė nopertedru. Be to matematikų grupė pagaliau sukūrė tetraedrą, kuris gali stovėti tik ant vienos iš 4-ių savo trikampių kraštinių. Jei bandysite jį pastatyti ant bet kurios kitos kraštinės, jis apvirs į stabiliąją pusę. Bet būtent tokia ir yra matematikos esmė: visada yra ką nauja sužinoti, net ir apie dalykus, kuriuos manome visiškai suprantantys. Dešimties martinių teiginys Kai 1974 m. Douglas Hofstadterio, tuo metu Oregono un-to studento, vadovas išvyko šabatinių atostogų į Vokietiją, jis prisijungė prie jo. Jie ten prisijungė prie grupės fizikų, kurie kankinosi spręsdami konkrečią kvantinės teorijos problemą bandydami nustatyti elektrono energijos lygmenis kristalinėje gardelėje esančioje šalia magneto. Hofstadteris buvo tas keistuolis, kuris negalėjo sekti kitų minčių eigą, nusprendė išbandyti praktiškesnį metodą - užuot įrodinėjęs teoremas, jis ketino atlikti kai kuriuos skaičiavimus panaudodamas HP 9820A programuojamą skaičiuotuvą. To reikėjo konkrečios Šriodingerio lygties sprendimui. Lygtis aprašo elektrono elgseną, o jos sprendiniai nurodo, kokią energiją gali įgauti elektronas. Hofstadterį dominančiu atveju lygtis turėjo a kintamąjį, t.y. magnetinio lauko stiprumo ir vieno tinklelio kvadrato ploto sandaugą, kuri apibūdina informaciją apie elektroną veikiančias jėgas. Vokietijos matematikai žinojo, kad kai alfa yra racionali reikšmė,
išspręsti Šriodingerio lygtį yra sunku, bet įmanoma, tačiau iracionalios reikšmės
Jo kolegos negalėjo suprasti tokio požiūrio esmės. Jie juokavo, kad jis bando iš šiaudų gauti auksą, ir ėmė vadinti savo skaičiuotuvą Rumpelstilzchen5). Net jo mokslinis vadovas vadino tai numerologija ir grasino nutraukti finansavimą. Tačiau išryškėjęs drugelis jį sudomino. Jis pastebėjo, kad įvedus trupmeną, leistinos energijos suskaidomos
į ilgas draudžiamų reikšmių atkarpas. Kuo trupmena sudėtingesnė, kuo daugiau skaitmenų buvo vardiklyje, tuo daugiau tarpų tarp galimų energijų
atsirasdavo. Energijos vertės pradėjo formuoti vizualiai ryškų raštą fraktalą,
o tai reiškė, kad mažesnės jos dalys atrodė taip pat, kaip ir visuma. Nuojauta jam kuždėjo, kad tai atspindi
gilią matematinę tiesą jis jautė, kad už uodegos laiko tigrą. Ir jis atpažino tą tigrą - tai buvo Kantoro aibė, pagal
G. Kantorą, ją išpopuliarinusią 1883 m. Ji sukuriama gana paprastai:
paėmus atkarpą, ji dalijama į 3 lygias dalis, tada pašalinama vidurinė dalis ir tęsiame tą procesą iki begalybės. Galiausiai gausime begalinį
tiesėje išsibarsčiusių taškų skaičių. D. Hofstadteris niekad nebūtų galėjęs įvesti iracionalios alfa reikšmės, tačiau jis pastebėjo, kad racionaliosioms a reikšmėms artėjant prie iracionaliojo skaičiaus, leistinų energijos reikšmių aibė (juostos kiekvienoje jo drugelio eilutėje) vis labiau panašėjo į Kantoro aibę. Taigi, jis iškėlė hipotezę, kad kai a reikšmė yra iracionali, galimos energijos sudaro tikrąją Kantoro aibę. Po kelerių metų du garsūs matematikai priėjo prie tos pačios išvados, tik visiškai kitaip. Barry Simonas6) ir Markas Kacas tyrinėjo tai, ką jie vadino beveik periodinėmis funkcijomis. Periodinės funkcijos rezultatai, tarsi sinusoidės, kartojasi vėl ir vėl. Tačiau beveik periodinė funkcija nubrėžia kelią, kuris labai artimas pasikartojimui, tačiau niekada tiksliai nepakartoja. 1981 m. jiedu susitiko per pietus ir aptarė tą Šriodingerio lygties versiją, prie kurio triūsė D. Hofstadteris su kolegomis. a tapus iracionalia, lygtis virsdavo beveik periodine funkcija. Tai rodė, kad D. Hofstadteris buvo teisus iracionalios a atveju energetiniai lygiai turėjo sudaryti Kantoro aibę. Tačiau B. Saimonas ir M. Kacas irgi nesugebėjo to įrodyti. M. Kacas netgi pasiūlė, kad pirmajam, kuris tai įrodys, nupirks 10-mt martinių ir tai įgavo 10-ties martinių teiginiu. Metams bėgant matematikai stengėsi teiginį įrodyti tam tikroms a reikšmėms. B. Saimonas vieną tarpinių rezultatų paskelbė 1982 m. ir M. Kacas jam pasiūlė 3 martinius. Tačiau jis nesulaukė pilno įrodymo (nors ir kažkiek purvino, pasirodžiusio tik po 20 m.), nes mirė 1984 m. 2003 m. Svetlana Žitomirskaja Šriodingerto lygtyje įdėtą beveik periodinę funkciją, galiausiai atsisakė 10-ties
martinių teiginio įrodinėjimo. Prieš metus Joaquim Puigas7) buvo įrodęs ją beveik visoms a
reikšmėms, panaudodamas jos anksčiau skelbtus metodus. Jai buvo pikta: Į savo įrodymus įdėjau daug sunkaus
Tačiau žmones sudomino. Jųdviejų įrodymas, kurį paskelbė internete 2005 m., galiausiai buvo paskelbtas prestižiškiausiame šios srities žurnale Annals of Mathematics, o vėliau 2014 m. A. Avila laimėjo Fieldso medalį iš dalies už savo darbą sprendžiant šią problemą. Matyt jie nusprendė patys gauti tuos10 martinių! Tačiau tam tikra prasme įrodymas buvo kiek netenkinantis, mat naudotas metodas, taikomas tik tam tikroms iracionalioms a reikšmėms. Sujungus jį su ankstesniu tarpiniu įrodymu, buvo galima teigti, kad problema išspręsta. Tačiau šis susiūtas įrodymas nebuvo elegantiškas tarsi paklodė iš lopų. Be to, įrodymai tik patvirtino iš pradžių teigtą spėlionę, kuri apėmė supaprastintas prielaidas apie elektrono aplinką. Realistiškesnės situacijos yra chaotiškesnės: kietojo kūno atomai išsidėstę sudėtingiau, o magnetiniai laukai nebūna pastovūs. Taigi tai nederėjo su fizikine tikrove. Įrodymo neveikimas platesniame kontekste taip pat reiškė, kad atsiradę gražūs fraktaliniai modeliai (Kantoro rinkiniai, Hofstadterio drugelis) buvo ne kas kita, o tik kaip matematinė įdomybė, kuri išnyksta, lygčiai tapus realistiškesne. Net D. Hofstadteris turėjo abejonių. Tačiau S. Žitomirskaja ir A. Avila persijungė prie kitų darbų. Tačiau 2013 m. Kolumbijos un-to fizikų grupė laboratorijoje pagavo Hofstadterio drugelį. Jie du plonus grafeno sluoksnius patalpino magnetiniame lauke, o tada išmatavo elektronų energetinius lygius. Kvantinis fraktalas pasirodė visu savo grožiu! Netikėtai abstraktus matematinis vaizdinys virto kažkuo praktišku, apčiuopiamu Tai labai suneramino. S. Žitomirskaja panoro tai išsiaiškinti matematiškai, o naujas bendradarbis Lingrui Ge, prisijungęs 2019 m., turėjo idėją, kaip tai padaryti. Tuo metu ir A. Avila pradėjo kurti tai, ką vadino globalia teorija būdą atskleisti aukštesnio lygio struktūrą visose beveik periodinėse funkcijose, kurią vėliau galėjo panaudoti ištisoms funkcijų klasėms spręsti vienu ypu. Tam jis susiejo geometrinį objektą su duotąja beveik periodine funkcija ir ištyrė jos savybes. Jis suprato, kad kai kurios iš šių geometrinių savybių gali padėti jam išspręsti pradinę funkciją. Tačiau tai veikė tik su tam tikrų tipų funkcijomis ir netiko 10-ties martinių teiginio sprendimui (ir buvo neaišku, ar kada nors galės tikti). Mat pirmiausias reikėjo transformuoti Šriodingerio lygtį į susijusią lygtį, jos dualą, o tada spręsti tą naują lygtį. Avilos teorija negalėjo nieko pasakyti apie aukštesnio lygio dualo struktūrą. Bent jau taip jis manė. Tačiau Lingrui Ge susidomėjo Avilos aprašytais geometriniais objektais. Jis įtarė, kad kitos šių objektų savybės slepia dar daugiau informacijos tos, kuri galėtų nušviesti dualiosios lygties aspektus. Jis ir Žitomirskaja (ir dar kartu su Jiangong You ir Qi Zhou iš Nankai un-to Kinijoje) sumąstė naują būdą interpretuoti Avilos geometrinį objektą ir pritaikyti jį dualui ir pateikti vieningą įrodymą įvairiems 10-ties martinių teiginio variantams be jokių lopytų paklodžių! Po to matematikai patobulintos globalios teorijos variantą panaudojo dar ir kitų dviejų šios srities uždavinių sprendimui. Ir tai gali būti tik naujo kelio pradžia... 1) Markas Kacas (Marek Kac, 1914-1984) žydų iš Lenkijos kilmės amerikiečių matematikas. Jo pagrindine domėjimosi sritimi buvo tikimybių teorija. Į JAV persikėlė 1938 m. Dirbo Kornelio un-te (1939-1961), o vėliau perėjo į Rokfelerio un-tą, o galiausiai karjerą užbaigė Pietų Kalifornijos un-te. Straipsnis Ar galima išgirsti būgno formą? (1966) paskatino spektrinės teorijos tyrimus; o į straipsnio klausimą atsakyta Ne, nes du skirtingi rezonatoriais gali turėti identiškus tikrinių verčių dažnius. 2) Svetlana Žitomirskaja (g. 1966 m.) - žydų iš Ukrainos kilmės amerikiečių matematikė. JAV Kalifornijos un-te dirbti pradėjo 1991 m. Tyrinėjo kvaziperiodinių Šriodingerio lygčių spektrą (už šios srities darbus 2005 m. gavo Ruth Lyttle Satter premiją bei 2020 m. Dannie Heinemano premiją), taip pat užsiimdama Holo kvantinio efekto ir kvantinio chaoso teorijomis, kvazikristalais. 3) Nalini Anantharaman (g. 1976 m.) - prancūzų matematikė, žinoma darbais matematinės fizikos ir analizės srityse; Strasburgo un-to profesorė, o nuo 2022 m. - College de France profesorė. Dirbo ir kvantinio chaoso, dinaminių sistemų ir Šriodingerio lygties srityse (už darbą kvantinio chaoso srityje 2018 m gavo Infosys premiją). Ji siekia atrasti teoremas, paaiškinančias netvarkingą bangų elgseną kvantinėje mechanikoje, sujungiant chaoso teoriją ir banginę mechaniką. Paskutiniu metu domisi bangų plitimu dideliuose grafuose ir atsitiktinės geometrijos modelių kūrimu. 4) Laura Monk - prancūzų matematika, kurios darbai spektrinės geometrijos srityje pratęsia M. Mirzakhani darbus. Dirab Bristolio unžte Anglijoje. 2024 m. gavo M. Mirzakhani premiją. 5) Rumpelštilcchenas (Rumpelstilzchen) - nykštukas iš brolių Grimų pasakos apie piktąjį nykštuką,
kuris verpdamas šiaudus gauna auksą. Jis pasirodo, kai malūnininkas pasigiria karaliui, kad jo duktė moka tai.
Tačiau nykštukas už tai nuolat reikalavo dovanų, o galiausiai paprašė pirmagimio iš jos būsimų vedybų. Kai
ją vedė karalius ir gimė kūdikis, nykštukas sutiko, kad jo neims, jei karalienė atspės jo vardą. Ir buvo išgirsta,
kaip jis dainuodamas save pavadina Rumpelštilcchenu. 6) Baris Saimonas (Barry Martin Simon, g. 1946 m.) - amerikiečių fizikas teoretikas ir matematikas. Caltech profesorius. Žinomas savo darbais iš ne reliatyvistinės kvantinės mechanikos (atskiru atveju Šriodingerio operatoriai, daugelio kūnų uždavinys ir kita), spektrinės teorijos, funkcionalinės analizės. 7) Joachimas Pučas (Joaquim Puig Sadurni, g. 1977 m.) - ispanų matematikas. Jo tyrimų sritys: dinaminės sistemos, Šriodingerio operatorių spektrinė teoriją, taikymai šveikatos sistemoje ir epidemiologijos, kompiuterių panaudojimas matematikoje. 8) Artūras Avila (Artur Avila Cordeiro de Melo, g. 1979 m.) -brazilų matematikas, daugiausia dirbantis dinaminių sistemų ir spektrinės teorijos srityse. 2005 m. kartu S. Žitomirskaja įrodė 10-ties martinių teiginį. Yra Fielso medalio laureatas (2014). Taip pat skaitykite: |
atveju jie neturėjo supratimo, kaip ją reiktų spręsti. 
darbo, o štai pasirodo jis ir pateikia šį gražų argumentą. Todėl ji kiek nustebo, kai ją aplankė 24-metis
matematikas Artūras Avila8) ir pasiūlė padirbėti kartu su likusiomis